時間：2023-07-21 09:15:05
緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發(fā)表網(wǎng)為您精選了8篇高等函數(shù)的概念，愿這些內(nèi)容能夠啟迪您的思維，激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；一致性；連續(xù)性；函數(shù)
一、高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性的基本概念
高等數(shù)學(xué)中的一致連續(xù)性是從函數(shù)連續(xù)的基本概念中派生出來的新釋義，它是指：存在一個微小變化的界限區(qū)間，如果函數(shù)定義域以內(nèi)的任意兩點(diǎn)間的距離永遠(yuǎn)不超過這個界限范圍，則這兩點(diǎn)相對應(yīng)的函數(shù)值之差就能夠達(dá)到任意小、無限小，這就是所謂的函數(shù)一致連續(xù)性概念。一直以來，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)的概念都是教學(xué)過程中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)之一，在多年的高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐過程中，筆者深刻感受到學(xué)生在學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)一致連續(xù)概念時的疑惑和困難。甚至有不少學(xué)生會有這樣的疑問：函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的本質(zhì)區(qū)別究竟體現(xiàn)在哪里？
帶著上述問題，我們對函數(shù)一致連續(xù)性進(jìn)行研究和分析。函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)的一個重要的特征和性質(zhì)，它標(biāo)志著一個連續(xù)函數(shù)的變化速度有無“突變”現(xiàn)象，并對其連續(xù)性進(jìn)行歸納總結(jié)。函數(shù)一致連續(xù)性，要求函數(shù)在區(qū)間上的每一點(diǎn)都保持著連續(xù)的特點(diǎn)，不允許出現(xiàn)“突變”現(xiàn)象，同時還進(jìn)一步要求它在區(qū)間上所有點(diǎn)鄰近有大體上呈現(xiàn)均勻變化的趨勢。換句話說，函數(shù)一致連續(xù)性的定義為：對于任給定的正數(shù)ε，要求存在一個與自變量x無關(guān)的正數(shù)δ，使對自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意2個值x'和x"，只要二者的距離x'-x"＜δ，那么函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值f（x'）-f（x"）＜ε。顯然，函數(shù)一致連續(xù)性的條件要比函數(shù)連續(xù)的條件強(qiáng)。在目前采用的高等數(shù)學(xué)的教材中，只是給出一致連續(xù)的基本定義，以及利用該定義證明函數(shù)f（x）在某區(qū)間上一致連續(xù)的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而呈現(xiàn)出了函數(shù)一致連續(xù)的完美邏輯結(jié)果。這種教學(xué)理念是很好的，但是，從實(shí)踐教學(xué)效果上看，又很不利于學(xué)生對定義的理解，尤其不利于學(xué)生對定義中提到的“δ”的理解，因此筆者建議教學(xué)工作者將函數(shù)一致連續(xù)性概念中所隱含的知識逐步解釋清楚，以此來幫助廣大學(xué)生更快更好地充分理解一致連續(xù)的概念和意義。高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的基本定義為：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對ε＞0，對于每一點(diǎn)x∈I，都存在相應(yīng)δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)。該定義說明了函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)的基本特征。函數(shù)一致連續(xù)的基本概念是：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對ε＞0，存在δ（＞0），使得對任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。要特別注意的是，連續(xù)概念中δ與一致連續(xù)概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定義，才能避免混淆概念。為了幫助大家更好地理解函數(shù)一致連續(xù)性概念，現(xiàn)將函數(shù)函數(shù)不一致連續(xù)的概念進(jìn)行一下描述：存在某個ε0，無論δ 是怎么樣小的正數(shù)，在I上總有兩點(diǎn)x' 和x"，雖然滿足x'-x" ＜0，卻有f（x'）-f（x"）＞ε。這就是函數(shù)不一致連續(xù)的概念，理解和學(xué)習(xí)函數(shù)不一致連續(xù)的相關(guān)知識，有利于我們更好地學(xué)習(xí)和研究函數(shù)一致連續(xù)性問題。
二、高等數(shù)學(xué)引入一致性連續(xù)性的意義和價值
高等數(shù)學(xué)教材中涉及了較多的理論和概念，比如函數(shù)的連續(xù)性與一直連續(xù)性，以及函數(shù)列的收斂性與一致收斂性等，都是初學(xué)者很容易混淆的相近概念，因而也成為了高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)問題。在工程數(shù)學(xué)中，這些概念非常重要，筆者認(rèn)為，搞清楚和弄明白函數(shù)的一致連續(xù)的基本概念，以及掌握判斷函數(shù)是否具有一致連續(xù)特性的基本方法，無疑都將是理工科學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性理論知識的核心環(huán)節(jié)，也是日后成熟運(yùn)用該數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)和前提。通過學(xué)習(xí)和比較，我們能夠得出一個很明顯的結(jié)論：一致連續(xù)要比連續(xù)條件強(qiáng)。高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)是一個很重要的概念，在微積分學(xué)以及其他工程學(xué)科中常常會用到一致連續(xù)的知識，而且函數(shù)列的一致連續(xù)性和一致收斂又有著密切的相互關(guān)系。實(shí)際上，我們在進(jìn)行函數(shù)列的收斂問題研究時，常常要用到函數(shù)列與函數(shù)之間的收斂、一致連續(xù)性、一致收斂等概念及其關(guān)系。函數(shù)一致連續(xù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)問題，證明某一個函數(shù)是否具有一致連續(xù)性是其中的瓶頸問題，這讓很多理工科同學(xué)感到無從下手。為了解決這一難點(diǎn)，達(dá)到化抽象為簡單的教學(xué)目的，筆者建議給出一致連續(xù)性的幾種常見等價形式，能夠很好地幫助學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同學(xué)更易于理解和掌握函數(shù)一致連續(xù)性這一知識要點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)一致連續(xù)性、函數(shù)列一致有界性、函數(shù)列一致收斂性等“一致性”概念是學(xué)習(xí)上的難點(diǎn)，也是教學(xué)大綱中的重點(diǎn)。因此，牢固掌握這些概念及與之有關(guān)的理論知識，對于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力都有著重要的意義。
函數(shù)一致連續(xù)的幾何意義非常非常重要。數(shù)學(xué)分析抽象而且復(fù)雜難懂，這門學(xué)科本身就有著極強(qiáng)的邏輯思維和嚴(yán)密特征，主要體現(xiàn)在它能夠采用最簡明的數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確表述其他語言無法量化的復(fù)雜多變的事物發(fā)展過程。換言之，其作用在于，能夠量化抽象事物的動態(tài)發(fā)展過程。其幾何意義將在高等數(shù)學(xué)課程入門中起到一個有利引導(dǎo)作用，清晰明朗地向?qū)W生展示高等數(shù)學(xué)中最基本的思想方法和思維方式，幫助學(xué)生理解抽象概念，提高學(xué)生培養(yǎng)自身的創(chuàng)新思維能力。另外，探討函數(shù)一致連續(xù)和一致收斂的關(guān)系，同時在有界區(qū)間上給出一致連續(xù)和一致收斂的等價關(guān)系，有利于學(xué)生在今后研究連續(xù)、收斂問題中擁有更多的參考依據(jù)。
三、解決高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題的對策
1.一元函數(shù)在有限區(qū)間上的一致連續(xù)性
由于用函數(shù)一致連續(xù)的定義判定函數(shù) 是否一致連續(xù)，往往比較困難。于是，產(chǎn)生了一些以G.康托定理為基礎(chǔ)的較簡單的判別法。
定理1 若函數(shù) 在 上連續(xù)，則 在 上一致連續(xù)。
這個定理的證明方法很多，在華東師大版數(shù)學(xué)分析上冊中，運(yùn)用了有限覆蓋定理和致密性定理來分別證明，本文選用閉區(qū)間套定理來證明。
分析：由函數(shù)一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)知，要證 在 上一致連續(xù)，即是要證對 ，可以分區(qū)間 成有限多個小區(qū)間，使得 在每一小區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值之差都小于 。
證明：若上述事實(shí)不成立，則至少存在一個 ，使得區(qū)間 不能按上述要求分成有限多個小區(qū)間。將 二等分為 、 則二者之中至少有一個不能按上述要求分為有限多個小區(qū)間，記為 ；再將 二等分為 、 依同樣的方法取定其一，記為 ；......如此繼續(xù)下去，就得到一個閉區(qū)間套 ，n=1，2，…，由閉區(qū)間套定理知，存在唯一一點(diǎn)c滿足
（2-13）
且屬于所有這些閉區(qū)間，所以 ，從而 在點(diǎn) 連續(xù)，于是 ，當(dāng)時，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我們可取充分大的k，使 ，從而對于 上任意點(diǎn) ，都有 。因此，對于 上的任意兩點(diǎn) ，由（2-14）都有 。（2-15）
這表明 能按要求那樣分為有限多個小區(qū)間，這和區(qū)間 的取法矛盾，從而得證。定理1對開區(qū)間不成立。阻礙由區(qū)間連續(xù)性轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性有兩種情況：（1）對于有限開區(qū)間，這時端點(diǎn)可能成為破壞一致連續(xù)性的點(diǎn)；（2）對于無限區(qū)間，這時函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處也可能破壞一致連續(xù)性。
定理2函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)，且 與 都存在。
證明：若 在 內(nèi)一致連續(xù)，則對 ，當(dāng) 時，有
，（2-16）
于是當(dāng) 時，有
。（2-17）
根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限 存在，同理可證極限 也存在，從而 在 連續(xù)， 與 都存在。
若 在 連續(xù)，且 和 都存在，則
令（2-18）
于是有 在閉區(qū)間 上連續(xù)，由Contor定理， 在 上一致連續(xù)，從而 在 內(nèi)一致連續(xù)。
根據(jù)定理2容易得以下推論：
推論1 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。
推論2 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)在 連續(xù)且 存在。
當(dāng) 是無限區(qū)間時，條件是充分不必要的。
2.一元函數(shù)在無限區(qū)間上的一致連續(xù)性
定理3 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 都存在。
證明：（1）先證 在 上一致連續(xù)。
令 ，由柯西收斂準(zhǔn)則有對 使對 ，有
。 （2-19）
現(xiàn)將 分為兩個重疊區(qū)間 和 ，因?yàn)?在 上一致連續(xù)，從而對上述 ，使 ，且 時，有
。 （2-20）
對上述 ，取 ，則 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。
（2）同理可證函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)。
由（1）、（2）可得 在 內(nèi)一致連續(xù)。
若將 分為 和 ，則當(dāng) 與 分別在兩個區(qū)間時，即使有 ，卻不能馬上得出 的結(jié)論。
由定理3還容易得出以下推論：
推論3 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。
推論4 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。
推論5 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 存在。
推論6 函數(shù) 在 內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是 在 內(nèi)連續(xù)，且 與 都存在。
參考文獻(xiàn)：
[1]王大榮，艾素梅；分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的求導(dǎo)方法芻議[J]；滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報；2005年03期
[2]袁文俊；鄧小成；戚建明；；極限的求導(dǎo)剝離法則[J]；廣州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）；2006年03期
關(guān)鍵詞：函數(shù)的極限 高職數(shù)學(xué) 教學(xué)
極限概念是微積分學(xué)最基本的概念之一，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等的定義都建立在極限概念的基礎(chǔ)上。極限的思想和方法貫穿在整個高等數(shù)學(xué)的始終，是人們研究許多問題的工具，是從學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)順利過渡到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所必須牢固掌握的內(nèi)容。正確理解和掌握極限的概念和極限的思想方法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。對高職學(xué)生來說，這一部分內(nèi)容也是較難掌握的。若極限學(xué)得不扎實(shí)，必然會影響到整個高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，因此準(zhǔn)確地掌握極限概念，對于進(jìn)一步研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)、積分等具有非常重要的意義。筆者在高職數(shù)學(xué)函數(shù)和極限一章教學(xué)實(shí)踐中做了如下思考和探索。
一、做好與初等數(shù)學(xué)的銜接
初等數(shù)學(xué)研究對象基本上是不變量，而高等數(shù)學(xué)的微積分以函數(shù)、變量為主要研究對象。初等函數(shù)是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)課本采用新課程標(biāo)準(zhǔn)，函數(shù)的有些內(nèi)容被刪去了，如反函數(shù)、三角函數(shù)中的余切、正割、余割及反三角函數(shù)。這些知識在高等數(shù)學(xué)中是必要的，因此在教學(xué)中筆者加入了這些知識的講授。
大多數(shù)高職學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識掌握并不牢固，所以筆者在教學(xué)中重視復(fù)習(xí)函數(shù)概念、基本初等函數(shù)及其性質(zhì)，及時復(fù)習(xí)求函數(shù)極限中用到的數(shù)學(xué)公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等變換常用公式等，為后續(xù)的極限教學(xué)做好鋪墊。
二、創(chuàng)設(shè)情境引入極限概念
學(xué)生由初等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)方法、思維習(xí)慣、認(rèn)知理解上會出現(xiàn)諸多不適應(yīng)。因此，筆者在引入極限概念時，利用AutoCAD軟件繪制正多邊形的功能來演示隨著圓內(nèi)（外）接正多邊形邊數(shù)的不斷增加，正多邊形會越來越接近圓這一動態(tài)效果，使學(xué)生在具體情境中體會到這種無限的過程，使學(xué)生能夠深刻地理解極限思想的內(nèi)涵。讓學(xué)生體會從“量變”到“質(zhì)變”，從而真正理解極限這個概念。在教學(xué)上，我們用多媒體課件動態(tài)展示有關(guān)函數(shù)的圖形，幫助學(xué)生理解和觀察函數(shù)的左右逼近值，從而建立左右極限的概念。通過實(shí)踐“情境—問題—探究”這一教學(xué)方式，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步體會常量與變量、有限與無限、近似與準(zhǔn)確、動與靜，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力。學(xué)生只有真正掌握了“極限”的動態(tài)實(shí)質(zhì)，才能更好地理解和掌握導(dǎo)數(shù)和積分的概念。
三、精講極限概念中的關(guān)鍵詞
刻畫極限的語言高度概括抽象，復(fù)雜又邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)密。高職學(xué)生難以理解和接受。所以高職數(shù)學(xué)無需講解極限的定義，采用極限的描述性定義更符合高職學(xué)生的實(shí)際。在極限的描述性定義中有兩個關(guān)鍵詞，“無限接近”的含義就是“要多接近就有多接近”，“定義”就是對“要多接近就有多接近”的定量化。筆者在教學(xué)中利用多媒體課件展示函數(shù)動態(tài)圖形，分析一些典型變化趨勢，通過比較數(shù)值的變化及函數(shù)圖形解釋“要多接近就有多接近”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討自變量x“無限接近”x0的各種不同形式，使學(xué)生在圖形上對“無限接近”這種“動態(tài)”變化有一較清晰的認(rèn)識，從而強(qiáng)化對極限概念的理解。
四、針對學(xué)生易犯的錯誤重點(diǎn)講解
學(xué)生在高中階段已初步學(xué)習(xí)過極限概念，但缺乏深入的理解，特別是對“無窮小”和“無窮大”更感難以理解。例如對“無窮大”的概念，很多學(xué)生認(rèn)為它是一個無限大的常數(shù)，思想還停留在常量數(shù)學(xué)階段，而缺乏運(yùn)動和變化的思想；相應(yīng)地，將無限小的數(shù)就理解為“無窮小”。這樣學(xué)生就會出現(xiàn)把“無窮小”和“無窮大”當(dāng)成一個數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，極限的四則運(yùn)算法則成立的前提是兩個函數(shù)的極限都存在，部分學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)而造成錯誤。學(xué)生還經(jīng)常忽視自變量的變化趨勢對函數(shù)極限的影響，分段函數(shù)在分界點(diǎn)的連續(xù)性是教學(xué)中的一個難點(diǎn)，學(xué)生對為什么要計算左右極限感到不解。分析其原因，問題往往出在對極限概念的理解上，對自變量的變化趨勢的理解不夠。對此，糾正以上錯誤對具體求函數(shù)極限的習(xí)題也會有很大幫助。
五、及時總結(jié)求極限的各種方法
學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)極限這一章內(nèi)容感覺較難的原因還在于極限的求法眾多，且靈活性強(qiáng)，不是每一種方法都適用于求任意函數(shù)的極限，面對各種題型學(xué)生往往束手無策。因此，在教學(xué)中我們很有必要對函數(shù)極限的各種求法加以歸納總結(jié)分類。在本章教學(xué)結(jié)束時，筆者針對求極限的各種方法集中上一次習(xí)題課，詳細(xì)總結(jié)各種求極限的方法，取得了較好的效果。
關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 初等數(shù)學(xué) 教材內(nèi)容 比對 銜接
中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A
Comparison between the Content of Higher
Mathematics and Elementary Mathematics
DU Huijuan
(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)
Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.
Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison
經(jīng)過調(diào)研了解到，2003年3月教育部頒發(fā)的《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點(diǎn)是新教材進(jìn)一步加強(qiáng)了高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，高中教材中安排了大學(xué)數(shù)學(xué)課程里的一些基本概念、基礎(chǔ)知識和思維方法。試圖從教學(xué)內(nèi)容方面解決高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接問題。但是，大學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，對大學(xué)新生盡快適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成了障礙。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的有效銜接亟待解決。
1 “函數(shù)與極限”的銜接
函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考要求較高，學(xué)生掌握也比較牢固。高等數(shù)學(xué)教材中的這部分內(nèi)容基本相同，但內(nèi)涵更豐富，難度也提高了。
（1）函數(shù)概念：在原有內(nèi)容中，增加了幾個在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的實(shí)例，如取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù)、符號函數(shù)等。因此，在學(xué)習(xí)中，函數(shù)概念部分可以簡略，重點(diǎn)學(xué)習(xí)這幾個特殊函數(shù)即可。
（2）初等函數(shù)：反三角函數(shù)要求提高，新增加了“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”等內(nèi)容。反三角函數(shù)的概念在高中已學(xué)過，但高中對此內(nèi)容要求較低，只要求學(xué)生會用反三角函數(shù)表示“非特殊角”即可。而高等函數(shù)中要求較高，此處在學(xué)習(xí)中應(yīng)補(bǔ)充有關(guān)內(nèi)容：在復(fù)習(xí)概念的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生熟悉其圖像和性質(zhì)，以達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。新增加的“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到，故應(yīng)特別注意。
（3）函數(shù)極限：“數(shù)列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數(shù)學(xué)重用的是“”定義，此處是學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中遇到的第一個比較難理解的概念，因此在教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)引導(dǎo)，避免影響函數(shù)極限后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。新增內(nèi)容“收斂數(shù)列的性質(zhì)”雖是新增內(nèi)容，但比較容易理解和掌握，教學(xué)正常安排即可?！皹O限四則運(yùn)算”處增加了“兩個重要極限”，要加強(qiáng)有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。
2 “導(dǎo)數(shù)與微分” 的銜接
高中新教材中的一元函數(shù)微積分的部分內(nèi)容，是根據(jù)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)需要所添加，目的是加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，讓中學(xué)生初步了解微積分的思想。
（1）導(dǎo)數(shù)的定義：高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)教材中，這一內(nèi)容是相同的，不同的是學(xué)習(xí)要求。高中數(shù)學(xué)要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（例如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。也就是說，盡管極限與導(dǎo)數(shù)在高中已經(jīng)學(xué)過，但主要是介紹概念和求法,對概念的深入理解不作要求。到了大學(xué)，概念上似懂非懂、不會靈活運(yùn)用，成了夾生飯。但高等數(shù)學(xué)要求學(xué)生掌握并熟練應(yīng)用，這是高等數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，在此處應(yīng)用舉例增加了利用“兩個重要極限”解題的例題，在教學(xué)中應(yīng)給與足夠的重視。
（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：高中新課標(biāo)教材要求較低：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求簡單的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)考察利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。
高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對這部分內(nèi)容要求：掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法；掌握初等函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，會求分段函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；了解微分的概念與四則運(yùn)算。
建議：高中學(xué)過的僅僅是該內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此需重新學(xué)習(xí)已學(xué)過的內(nèi)容，為本節(jié)后面更深更難的內(nèi)容打好基礎(chǔ)。
（3）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并通過實(shí)際的背景和具體應(yīng)用事例引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由函數(shù)增長到函數(shù)減少的過程，使學(xué)生了解函數(shù)的單調(diào)性，極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求結(jié)合函數(shù)圖像，知道函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的最大最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。
高等數(shù)學(xué)對這部分內(nèi)容的處理是：先介紹三個微分中值定理、洛必達(dá)法則、泰勒公式，然后嚴(yán)格證明函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性，給出函數(shù)的極值、最值的嚴(yán)格定義，及函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎(chǔ)上，討論求最大最小值的應(yīng)用問題，以及用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的方法步驟。
建議：由以上分析比較可知，高中數(shù)學(xué)所涉及的一元微分學(xué)雖然內(nèi)容差別不大，但內(nèi)容體系框架有很大差異，高等數(shù)學(xué)知識更系統(tǒng)，邏輯更嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)習(xí)要求上，對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及簡單函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)極值都是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求的重點(diǎn)，是重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練的知識點(diǎn)。而在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中建議一點(diǎn)而過，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在用微分中值定理證明函數(shù)單調(diào)性的判定定理、函數(shù)極值點(diǎn)的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點(diǎn)等內(nèi)容上。
以上主要分析比較了高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重復(fù)知識點(diǎn)。除此之外，二者之間以及高等數(shù)學(xué)與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。
3 高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識的“斷裂帶”
高考對平面解析幾何中的極坐標(biāo)內(nèi)容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學(xué)教材中，極坐標(biāo)知識是作為已知知識直接應(yīng)用的，如在一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用中求曲率，以及定積分的應(yīng)用中求平面圖形的面積等。建議在相應(yīng)的地方補(bǔ)充講解極坐標(biāo)知識。
初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)除了在教材內(nèi)容上的銜接外，在學(xué)習(xí)思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不能很好地銜接，教師在教學(xué)中要注意放慢速度，幫助學(xué)生熟悉高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關(guān)系，在備課時，了解中學(xué)有關(guān)知識的地位與作用及與高等數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的密切聯(lián)系，對教材做恰當(dāng)?shù)奶幚?；上課時教師要經(jīng)常注意聯(lián)舊引新，運(yùn)用類比，使學(xué)生在舊知識的基礎(chǔ)上獲得新知識。
總之，努力探索搞好初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)銜接問題，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。
參考文獻(xiàn)
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以鍛煉學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S,培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力,高等數(shù)學(xué)是各高校的理工農(nóng)林等專業(yè)學(xué)生必修的基礎(chǔ)課。在高等數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)、關(guān)鍵、貫穿作用的是數(shù)學(xué)概念。每個數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ),是提高解題能力的前提。數(shù)學(xué)概念的簡潔、抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忍攸c(diǎn)導(dǎo)致很多學(xué)生對高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有畏懼感,感覺抽象、枯燥,乏味。在有限的學(xué)時內(nèi),讓學(xué)生正確理解概念,教師舉例說明是直觀的,可以減少學(xué)生學(xué)習(xí)活動的盲目性。逆向思維可以打破學(xué)生的定向思維,使其從多層次、多角度理解概念,進(jìn)而深入的掌握知識,大大的開拓視野。利用反例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中起著畫龍點(diǎn)睛的作用。
分段函數(shù)是指在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子表示的一個函數(shù)。分段函數(shù)在每段內(nèi)對應(yīng)的解析式是初等函數(shù),在分段點(diǎn)處的特性往往會發(fā)生很大的異常,這也是用作反例的重要價值。本文主要將一元分段函數(shù)作為反例,在高等數(shù)學(xué)中學(xué)生不易理解或者易混淆的幾個重要概念中進(jìn)行應(yīng)用。
1 初等函數(shù)與分段函數(shù)
由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算而形成的并可用一個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。由于分段函數(shù)是由幾個式子表示的函數(shù),有些老師講解初等函數(shù)的概念時,只強(qiáng)調(diào)初等函數(shù)用一個式子表示,輕易地得出分段函數(shù)非初等函數(shù)的結(jié)論。事實(shí)上并非所有的分段函數(shù)都不是初等函數(shù)。
例如,函數(shù)y=3x+2,x?叟0x+2,x<0為分段函數(shù),但是該函數(shù)可以用y=2x+■+2一個式子表示,顯示該分段函數(shù)是初等函數(shù)。其實(shí)分段函數(shù)在滿足一定條件下是初等函數(shù),可參考文獻(xiàn)[2]。通過此分段函數(shù)例子可以加深學(xué)生對分段函數(shù)和初等函數(shù)概念的理解,并且擴(kuò)大學(xué)生的思維。
2 有界函數(shù)與函數(shù)值
若函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)有界,則稱f(x)在區(qū)間I內(nèi)為有界函數(shù)。初學(xué)有界函數(shù)概念的學(xué)生易與有限的函數(shù)值混淆。事實(shí)上函數(shù)有界是函數(shù)在研究區(qū)間整體的一個性質(zhì),函數(shù)值是某點(diǎn)按照對應(yīng)法則計算的結(jié)果,這兩個概念是整體和局部上的區(qū)別。
例如,分段函數(shù)f(x)=■,x≠00,x=0在任意x0點(diǎn)的函數(shù)值為有限值■,但是對任意的θ(θ>1),不妨取x0=■≠0,有f(x0)=■=2θ>θ,從而知函數(shù)f(x)為無界函數(shù)。
3 函數(shù)極限與函數(shù)值
如果在xa的過程中,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限地接近于常數(shù)A,則稱數(shù)A是函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的極限。初學(xué)函數(shù)極限的學(xué)生易想當(dāng)然的認(rèn)為函數(shù)的極限就是函數(shù)在點(diǎn)a處的函數(shù)值。事實(shí)上函數(shù)在點(diǎn)a處極限值的存在與該點(diǎn)處函數(shù)值無關(guān)。
例如,已知函數(shù)f(x)=■,x≠25,x=2,極限■f(x)=
■■=■(x+2)=4,而在x=2處的函數(shù)值f(x)=5≠4。
4 無窮大與無界函數(shù)
若對于任意給定的不論多么大的正數(shù)M,總存在δ>0,當(dāng)0<x-a<δ時,有f(x)>M成立,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)xa時為無窮大。初學(xué)者常錯誤的將無窮大等價為無界函數(shù)。事實(shí)上無窮大是在研究范圍內(nèi)為無界函數(shù),但反之不一定成立。無界是指自變量在定義域內(nèi),函數(shù)值沒有界限,但是可能并沒有一個趨勢。無窮大是在自變量的某個變化過程中有確定的趨勢。
例如,已知數(shù)列函數(shù)f(n)=n,n=2k■,n=2k+1,其中k為整數(shù)。顯然它是一個無界數(shù)列函數(shù),但當(dāng)n+∞時,它不是無窮大,因?yàn)槠鏀?shù)子列是收斂的,極限值為0。
5 原函數(shù)和可積
若f(x)在閉區(qū)間I上有原函數(shù),很多學(xué)生就認(rèn)為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上可積。這是因?yàn)樗麄儗⒃瘮?shù)和可積兩者認(rèn)為等價的。事實(shí)上,函數(shù)具有原函數(shù)和可積不是充要條件。
辨析題高等數(shù)學(xué)作用在我國高等教學(xué)中，學(xué)生們在做題中經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)具有很多概念問題，定理的條件或者結(jié)論問題，還有不能解決的公式問題等一些在高等領(lǐng)域中，具有深刻意義的數(shù)學(xué)問題。這些問題的出現(xiàn)也是在高等教育學(xué)校里，跟高等學(xué)校的老師和教材有關(guān)。所以，在高等教育學(xué)校的老師對高等教育教學(xué)方法進(jìn)行修改，甚至對高等教育學(xué)校的教學(xué)教材進(jìn)行改編。我們就會發(fā)現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)中，學(xué)生們對部分的定理條件或者結(jié)論時就會懂得怎樣去解決。對于解決這些難題，學(xué)生們應(yīng)該歸納總結(jié)出那些問題的難點(diǎn)，提出那些經(jīng)過精心準(zhǔn)備的辨析題進(jìn)行思考和分析。這樣才能讓學(xué)生們?nèi)为?dú)思考和發(fā)揮思維，去建立正確的概念和定理，從而解決這些加深概念的難題。
一、加強(qiáng)學(xué)生們對數(shù)學(xué)概念和定理的正確理解
1.概念，例如在數(shù)列中的極限是一個抽象而且難懂的一項概念，高等學(xué)校的學(xué)生們很難正確理解數(shù)列中的極限是什么概念。
例如，辨析題：意思就是當(dāng)ε
2.高等數(shù)學(xué)中，很多公式可以計算某些積分?jǐn)?shù)據(jù)，但是計算過程是很復(fù)雜的。例如：可以用來計算積分，但是計算積分的條件必須讓學(xué)生清楚這種格式在應(yīng)用計算積分中是很少用上的，我們要想知道是不是可以用來進(jìn)行等量代換，可以得出還可以推出，做到這一步了，其實(shí)可以直接得出，在這些辨析題中，可以讓學(xué)生知道：在函數(shù)進(jìn)行代換的時候，在[-1，1]上無意義的點(diǎn)t=0。最后才讓學(xué)生知道原來這些辨析題不能進(jìn)行變量代換公式，才能真正了解這些公式在條件中的作用。
3.在積分區(qū)間，根據(jù)積分的變量反映了積分的正負(fù)關(guān)系，所以在積函數(shù)中也會有形成因子時，有的時候也會變成，還有是會變成在積分區(qū)間劃分為兩個不同的公式，分別是。但是在高等數(shù)學(xué)中，很多數(shù)學(xué)對函數(shù)的積分概念理解不清楚，經(jīng)常導(dǎo)致出現(xiàn)計算錯誤或者利用公式不對，從而導(dǎo)致計算出來的結(jié)果與答案完全不同，具有很大的誤差。
例如，我們看下面的計算發(fā)生錯誤的地方：其實(shí)學(xué)生們都知道所以，我們明顯的知道，這個公式的計算是錯誤的。但是通過這個高等數(shù)學(xué)的辨析題我們知道：
所以，我們才知道在計算積分時，我們不但可以改正計算積分的錯誤算法，還可以探討出更加好的運(yùn)算原理和新公式，得出更加方便和快捷的計算方法。以上的幾個例子足以證明，在高等數(shù)學(xué)中，老師出辨析題對學(xué)生們的作用和提升了，只要同學(xué)們積極去思考和努力去計算，就可以解決一切計算的困難，這樣才能真正應(yīng)用概念和定理的作用。
二、加強(qiáng)知識溝通與開發(fā)
在多元函數(shù)中當(dāng)f（p）在某一點(diǎn)p上時，偏導(dǎo)數(shù)存在，但是當(dāng)f（p）在點(diǎn)p連續(xù)時，成立在點(diǎn)p上的充分條件。在高等數(shù)學(xué)中，一元函數(shù)和多元函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)的存在與否具有不同之處，在我國高等數(shù)學(xué)教材中給出的是：這樣可以說明，多元函數(shù)在某一點(diǎn)上的偏導(dǎo)數(shù)就會存在，而當(dāng)一元函數(shù)不連續(xù)時偏導(dǎo)數(shù)就不存在。這樣的例子并不是想說明函數(shù)需要在某一點(diǎn)上連續(xù)或者說明函數(shù)必須在某一點(diǎn)上存在偏導(dǎo)數(shù)。我們可以看辨析題知道：例題1：已知一個函數(shù)在點(diǎn)f上當(dāng)x與y都等于0時，求它們在點(diǎn)（0，0）上是否存在？而且看f（x，y）在點(diǎn)（0，0）是否連續(xù)？從這個例子我們可以得出什么規(guī)律或者原理？
這個辨析題不僅給高等數(shù)學(xué)中的學(xué)生帶來了分析還給學(xué)生們總結(jié)了一個原理，那就是多元函數(shù)在某一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在而函數(shù)不連續(xù)的情況確實(shí)存在，而且我們可以看出在幾何圖像中顯出點(diǎn)（0，0）偏導(dǎo)數(shù)存在，知識描述了f（x，y）在圖中的性態(tài)，其實(shí)不能真正在點(diǎn)（0，0）上連續(xù)存在偏導(dǎo)數(shù)。在不同的函數(shù)領(lǐng)域里，一定有f（x，y）-f（0，0）=1的某一點(diǎn)。所以，這種題目給高等數(shù)學(xué)學(xué)校的學(xué)生開拓了大腦思維，從而進(jìn)入了更加深層的思考問題的范圍之內(nèi)了。
經(jīng)過上面的例子分析和計算，我們可以知道為什么選擇辨析題來給學(xué)生們進(jìn)行理解和思考。這樣不僅可以提高學(xué)生在理解課程知識的進(jìn)步，還能對學(xué)生們所學(xué)到的知識進(jìn)行鞏固和延伸。
所以，在高等教育學(xué)校，我們應(yīng)該做好辨析題分析，才能讓學(xué)生們在辨析題中有提高和進(jìn)步的空間。但是，在我國高等數(shù)學(xué)中，教好辨析題的做法與分析不是一件容易之事啊。老師必須在上課之前做好課前備課，課堂與同學(xué)們進(jìn)行討論和研究。同時有了老師積極付出，應(yīng)該還少不了同學(xué)們的積極配合，這樣才能有效提高高等數(shù)學(xué)中辨析題的作用，下面我們對辨析題的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行了總結(jié)以下幾點(diǎn)：
1.做辨析題是同學(xué)們在做高等數(shù)學(xué)題中的一種題型之一，高等數(shù)學(xué)題還包括計算題、函數(shù)題、證明題、應(yīng)用題等各種題型。而辨析題的作用主要可以讓學(xué)生們對老師所講的知識進(jìn)行鞏固和延伸，從而進(jìn)一步讓知識更加廣。
2.解答辨析題，主要是應(yīng)用老師教的辨析解題法。能真正解答辨析題的學(xué)生必須是經(jīng)過了思考和積極思維去做出來的，因?yàn)楸嫖鲱}很需要學(xué)生去探索和積極思維，才能更快地解決辨析題，鍛煉解決辨析題，可以鍛煉學(xué)生靈活利用數(shù)學(xué)知識和公式，從而對解決辨析題具有重大的作用。
3.解決辨析題，不僅僅是機(jī)械記憶的一種方法還是概念與定理的一種記憶，但是僅僅利用老師所教的概念與定理遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用來解決辨析題，所以，學(xué)生們還要積極對高等數(shù)學(xué)教材進(jìn)行鉆研和探討，才能讓以后的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更容易。
三、結(jié)語
高等數(shù)學(xué)中的辨析題對學(xué)生們進(jìn)行開拓思維和積極延伸所學(xué)知識具有重要的作用。還可以為學(xué)生們以后解決高等數(shù)學(xué)的其他題型。
參考文獻(xiàn)：
[1]張劍平.現(xiàn)代教育技術(shù)理論與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2008.
關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)； MATLAB； GUI編程； 教學(xué)輔助系統(tǒng)； 演示模塊
中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1006-8228（2017）05-64-04
Design and implementation of higher mathematics computer aided teaching
demonstration system based on MATLAB GUI
Liu Bing1，2
（1. Chengde Petroleum College， Chengde， Hebei 067000， China； 2. Hebei Instruments and Meters Engineering Technology Research Center）
Abstract： According to the teaching status of higher mathematics course and the geometric meaning of important mathematical concepts and the mathematical thought that it contains， in the higher mathematics course， using MATLAB language for GUI programming， a higher mathematics computer aided teaching demonstration system for each teaching module is developed. The system is comprehensive in content， interactive， simple operation and intuitive demonstration， which is beneficial to the understanding of the concepts. The application of this system can stimulate students' interest in learning， and improve the teaching effect and teaching quality.
Key words： higher mathematics； MATLAB； GUI programming； computer aided teaching system； demonstration module
0 引言
高等笛[1]課程一直是高等院校絕大多數(shù)專業(yè)的必修基礎(chǔ)性課程。在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，教師是教學(xué)活動的主體，教師對數(shù)學(xué)概念的定義與對相關(guān)定理及結(jié)論的推導(dǎo)會貫穿整個課堂教學(xué)。由于學(xué)生很少參與知識的形成過程，一直處于被動的學(xué)習(xí)狀態(tài)，所以學(xué)生學(xué)習(xí)效果差。高等數(shù)學(xué)計算機(jī)輔助教學(xué)[2-6]是計算機(jī)技術(shù)與數(shù)學(xué)軟件進(jìn)入數(shù)學(xué)教學(xué)后出現(xiàn)的一種新型教學(xué)模式，此種教學(xué)模式將先進(jìn)的計算機(jī)技術(shù)引入到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，借助于計算機(jī)技術(shù)將數(shù)學(xué)概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及其幾何意義可視化、形象化，進(jìn)而可實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的直觀化、通俗化，改善教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量。
當(dāng)前，在高等數(shù)學(xué)計算機(jī)輔助教學(xué)中，常用的開發(fā)工具主要有PowerPoint、Flash等。這些軟件雖然都可以在不同程度上實(shí)現(xiàn)對高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的輔助教學(xué)作用[2-3]，但都存在比較明顯的不足。例如，軟件本身所具有的科學(xué)計算功能微乎其微；教學(xué)演示過程中無法做到對概念的準(zhǔn)確與定量的描述，且它們的主要作用都體現(xiàn)在放映效果上，缺乏與操作人員的交互性。與這些軟件不同，Matlab[7-10]是一款具有高性能的數(shù)值計算與可視化功能的軟件，它既能進(jìn)行科學(xué)計算，又具有面向?qū)ο蟮膱D形技術(shù)與GUI功能[11-12]。利用該軟件所提供GUI圖形界面編程機(jī)制，可以使開發(fā)者輕松的設(shè)計與開發(fā)出自己所需的人機(jī)交互性良好的應(yīng)用程序。近年來，伴隨著MATLAB軟件自身技術(shù)的不斷進(jìn)步及其在各領(lǐng)域的應(yīng)用，出現(xiàn)了許多利用MATLAB GUI開發(fā)的高等數(shù)學(xué)輔助教學(xué)系統(tǒng)[4-6]。這些系統(tǒng)可以起到一定的教學(xué)輔助效果，但系統(tǒng)的演示效果單調(diào)、乏味，且對概念的演示較為膚淺，對學(xué)生的直觀理解幫助很大。此外，系統(tǒng)的演示內(nèi)容也較為單薄，對于高等數(shù)學(xué)中的一些重要知識點(diǎn)并未涉及。因此，本文利用Matlab的 GUI編程，從高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，依據(jù)高等數(shù)學(xué)課程中各重要數(shù)學(xué)概念的幾何意義及其數(shù)學(xué)思想，開發(fā)出了一種針對于高等數(shù)學(xué)各個教學(xué)模塊的輔助教學(xué)演示系統(tǒng)。與文獻(xiàn)[4-6]中的系統(tǒng)相比，本系統(tǒng)交互性良好，系統(tǒng)的設(shè)計理念與設(shè)計原則均來源于教學(xué)實(shí)踐，且演示內(nèi)容全面，演示效果生動、深刻，能準(zhǔn)確揭示出所演示概念的本質(zhì)。
1 演示系統(tǒng)的設(shè)計與開發(fā)
在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，對各個重要數(shù)學(xué)概念的理解與掌握是最關(guān)鍵的。概念掌握了，與概念相關(guān)的其他教學(xué)內(nèi)容，包括一些定理、推論等也就不難理解了。而對于概念的理解與掌握，最關(guān)鍵的是要借助于其具體的幾何意義?；诖?，本系統(tǒng)的演示對象主要針對的是高等數(shù)學(xué)課程中一些主要教學(xué)模塊所包含的重要數(shù)學(xué)概念，而系統(tǒng)的設(shè)計依據(jù)與演示內(nèi)容則為各個演示對象（即數(shù)學(xué)概念）的幾何意義。
1.1 系統(tǒng)的演示內(nèi)容
高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容繁多，本系統(tǒng)重點(diǎn)針對四大教學(xué)內(nèi)容，分別是一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、空間解析幾何和多元函數(shù)微分學(xué)。這四大教學(xué)內(nèi)容中，每部分都包含許多重要的數(shù)學(xué)概念，有導(dǎo)數(shù)、微分、空間曲面及偏導(dǎo)數(shù)等等。整個演示系統(tǒng)共有17個教學(xué)演示模塊，如圖1所示。
1.2 系統(tǒng)主界面的設(shè)計
系統(tǒng)主界面的設(shè)計主要是菜單欄的設(shè)計。菜單欄選項與圖1中系統(tǒng)各個教學(xué)演示模塊是相對應(yīng)的，其設(shè)計是通過MATLAB GUIDE所提供的菜單編輯器來實(shí)現(xiàn)的。系統(tǒng)主菜單共有6項，其中主要菜單項有4項，分別為一元函數(shù)微分學(xué)菜單項、一元函數(shù)積分學(xué)菜單項、空間解析幾何菜單項和多元函數(shù)微分學(xué)菜單項。而對于每一個主菜單項，又會包含許多子菜單項，這些子菜單項即為最終要演示的具體對象。主界面設(shè)計完成后，運(yùn)行效果如圖2所示。
2 系統(tǒng)的演示效果
本系統(tǒng)的演示模塊數(shù)量較多，由于篇幅所限，在此我們從空間解析幾何和多元函數(shù)微分學(xué)兩個主菜單中各選出一個演示模塊，來對整個系統(tǒng)的教學(xué)演示效果加以說明。
2.1 “柱面的認(rèn)識與繪制”教學(xué)模塊的演示效果
“柱面的認(rèn)識與繪制”教學(xué)演示模塊從屬于系統(tǒng)中的空間解析幾何主菜單項。柱面是高等數(shù)學(xué)空間解析幾何教學(xué)中的一類重要的空間幾何圖形，它有兩類基本構(gòu)成要素：一個是準(zhǔn)線，一個是母線。教材中，重點(diǎn)學(xué)習(xí)的是準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上，母線垂直于該坐標(biāo)面的柱面。在傳統(tǒng)的板書及PPT教學(xué)方式下，部分內(nèi)容的難點(diǎn)在于，教師無法實(shí)現(xiàn)對任意給定的此類柱面的直觀繪制，這又率寡生很難理解與認(rèn)識此類空間幾何圖形。
運(yùn)行本演示模塊，可得如圖3（a）所示界面。在界面的參數(shù)設(shè)置區(qū)中首先選擇柱面類型，這里選擇“準(zhǔn)線在xoy面，母線平行于z軸”類型，然后再輸入準(zhǔn)線函數(shù)表達(dá)式2*x^2+x-2（即準(zhǔn)線在xoy面的表達(dá)式為y=2x2+x-2），單擊“繪制圖形”按鈕，得到圖3（b）所示界面。
由以上演示過程易見，該演示模塊可實(shí)現(xiàn)對所學(xué)任意類型柱面的繪制。圖3（b）實(shí)現(xiàn)了對“準(zhǔn)線在xoy面，母線平行于z軸”類型柱面的繪制，通過改變選擇的柱面類型并修改準(zhǔn)線表達(dá)式，還可以繪制出其他類型的柱面。如圖4，此時，繪制的為“準(zhǔn)線在zoy面，母線平行于x軸”且準(zhǔn)線表達(dá)式為的柱面。
2.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)模塊的演示效果
“二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義”教學(xué)演示模塊從屬于系統(tǒng)中的多元函數(shù)微分學(xué)主菜單項。偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的核心概念，同時，也是學(xué)習(xí)與解決多元函數(shù)全微分、多元函數(shù)極值與最值等各類問題的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)與掌握多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念關(guān)鍵是要去理解其幾何意義。眾所周知，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)為一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，其幾何意義仍為曲線在某點(diǎn)處切線的斜率。以二元函數(shù)z=f（x，y）為例，其在點(diǎn)（x0，y0）處對x偏導(dǎo)fx（x0，y0）的幾何意義為曲面z=f（x，y）與平面y=y0的交線在點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））處切線的斜率；其在點(diǎn)（x0，y0）處對y偏導(dǎo)fy（x0，y0）的幾何意義則為曲面z=f（x，y）與平面x=x0的交線在點(diǎn)（x0，y0，f（x0，y0））處切線的斜率。在傳統(tǒng)的板書教學(xué)與PPT演示教學(xué)中，此部分教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)在于教師不能夠靈活、直觀、準(zhǔn)確地繪制出任意所給定的二元函數(shù)z=f（x，y）所表示的曲面與相應(yīng)平面的交線，這樣，致使學(xué)生對于其幾何意義的認(rèn)識不直觀、不深刻。
運(yùn)行該模塊，可得如圖5（a）所示界面。在該界面中，當(dāng)在參數(shù)設(shè)置區(qū)內(nèi)輸入二元函數(shù)的表達(dá)式f（x，y）及（x0，y0）點(diǎn)的具體值并選擇求偏導(dǎo)的類型后，當(dāng)點(diǎn)擊“計算偏導(dǎo)”按鈕，可以計算出輸入的二元函數(shù)在輸入點(diǎn)（x0，y0）處關(guān)于選定的偏導(dǎo)的類型的偏導(dǎo)數(shù)。之后，當(dāng)點(diǎn)擊“演示幾何意義”按鈕，可形象直觀地繪制出相應(yīng)計算出的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。例如，當(dāng)輸入的二元函數(shù)為2*x^2+x*y^2+x*y（即書面中的函數(shù)2x2+xy2+xy），x0為1，y0為1，選擇求偏導(dǎo)類型為“對x求偏導(dǎo)”，點(diǎn)擊“計算偏導(dǎo)”按鈕，之后，點(diǎn)擊“計算偏導(dǎo)”按鈕，可形象直觀地繪制出其幾何意義，如圖5（b）。
由圖5（b）易見，該演示模塊可實(shí)現(xiàn)對所輸入的任意二元函數(shù)在任意點(diǎn)（x0，y0）處的偏導(dǎo)數(shù)。本例中，求得的f（x，y）在點(diǎn)（1，1）處對自變量x的偏導(dǎo)值fx（1，1）為6。除此以外，該演示模塊最大的優(yōu)勢在于可以直觀、生動的演示出fx（1，1）的幾何意義。由圖5（b），易知，該演示模塊界面左側(cè)的空間直角坐標(biāo)系中可顯示出此時曲面z=2x2+xy2+xy與平面y=1的交線；而與此同時，為了更直觀的來理解fx（1，1）的幾何意義，演示模塊界面右側(cè)，則將該交線從空間直角坐標(biāo)系中分離出來，將其放置在平面y=1內(nèi)部的平面直角坐標(biāo)系（該坐標(biāo)系橫軸為x軸縱軸為z軸）內(nèi)，此時該平面曲線在點(diǎn)（1，4）的切線（即圖5（b）中右側(cè)坐標(biāo)系中紅色的切線）的斜率即為fx（1，1）的幾何意義。當(dāng)然，通過改變偏導(dǎo)的類型，選擇“對y求偏導(dǎo)”，也可以類似的獲得f（x，y）在點(diǎn)（1，1）處對自變量y的偏導(dǎo)值fy（1，1）及其幾何意義。
3 結(jié)束語
本文中所研發(fā)的基于MATLAB GUI的高等數(shù)學(xué)輔助教學(xué)演示系統(tǒng)，人機(jī)交互性良好，演示內(nèi)容全面，演示手段豐富且演示效果生動、深刻，能準(zhǔn)確的揭示出所演示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，因而，更能貼近于教學(xué)實(shí)踐。從實(shí)踐教學(xué)活動中的應(yīng)用來看，學(xué)生對系統(tǒng)的交互性使用及其演示效果均較為滿意。下一步，計劃將高等數(shù)學(xué)中一些更為復(fù)雜的教學(xué)模塊（包括多元函數(shù)積分學(xué)及級數(shù)等）引入到模塊中來，從而實(shí)現(xiàn)對整個高等數(shù)學(xué)課程知識點(diǎn)的全覆蓋。
參考文獻(xiàn)（References）：
[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2007.
[2] 薛春明.高等數(shù)學(xué)多媒體輔助教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].科技信息，2010.19：156
[3] 崔楠.Power point在制作CAI 課件中的應(yīng)用與技巧[J].計算機(jī)時代，2001.1：3
[4] 時紅霞.高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的應(yīng)用研究[D].西安建筑科技大學(xué)碩士學(xué)位論文，2006.
[5] 崔秋珍.基于MATLAB的高等數(shù)學(xué)試驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計與圖形界面系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)[D].西安建筑科技大學(xué)碩士學(xué)位論文，2006.
[6] 許仨.高等數(shù)學(xué)多媒體教學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計與實(shí)現(xiàn)[D].貴州大學(xué)，2010.
[7] 胡曉冬，董辰輝.MATLAB從入門到精通[M].人民郵電出版社，2010.
[8] 陳杰.MATLAB寶典[M].電子工業(yè)出版社，2007.
[9] 葛哲學(xué).精通MATLAB[M].電子工業(yè)出版社，2008.
[10] 張志涌，楊祖櫻.MATLAB教程[M].北京航空航天大學(xué)出版社出版，2015.
關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；反例；應(yīng)用
中圖分類號：O13
1， 反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用
高等數(shù)學(xué)的反例是指符合某一個命題的條件，但又和此命題結(jié)論相矛盾的例子。正確的命題需要嚴(yán)密的證明，錯誤的命題則靠反例否定。
1.1 有助于基本概念的深化理解
關(guān)于二元函數(shù)的極限的概念，現(xiàn)在的描述性定義盡管比過去的“ ”定義簡單，但 是表示點(diǎn) 以任何方式接近于點(diǎn) ，所以在討論極限是否存在時，只要選擇兩條不同路徑，而按這兩條路徑計算的極限值不同，既可說明極限不存在。
例 討論二元函數(shù)
是否存在極限？
解 當(dāng)點(diǎn) 沿直線 趨于點(diǎn) 時，有
，當(dāng)點(diǎn) 沿直線 趨于點(diǎn) 時，有 。可見沿不同路徑函數(shù)趨于不同值，該函數(shù)的極限不存在。又
同理可得 ，二元函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)，但其偏導(dǎo)數(shù)卻存在。但對于一元函數(shù)是可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。
1.2 有助于基本定理的理解掌握
在高等數(shù)學(xué)中，學(xué)生對定理條件和結(jié)論之間的“充分”、“必要”性的理解通常是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。而反例使學(xué)生打開眼界，拓寬思路，從而全面正確理解高等數(shù)學(xué)的基本定理。拉格朗日定理是微積分的基本定理，關(guān)于它的學(xué)習(xí)，一般先介紹定理（若函數(shù) 滿足條件： 在 上連續(xù)； 在 上可導(dǎo)，則在 內(nèi)至少薦在一點(diǎn) ，使得
成立），再結(jié)合圖形給予證明。對給定的具體函數(shù)，要求能夠判斷其是否在所給區(qū)間上滿足指定的定理的條件，并能求出滿足定理中的 。
1.3 有助于錯誤命題的有效糾正
在一元函數(shù)中有兩個重要結(jié)論。一是可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)；二是若f （x）在某某區(qū)間（a， b）內(nèi)只有一個駐點(diǎn) ，而且從實(shí)際問題本身又能夠知道f （x）在該區(qū)間內(nèi)必定有最大值或最小值.則 就是所要求的最大值或者最小值。按照常規(guī)的思維模式，人們很自然把它們推廣到二元函數(shù)。
2 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的應(yīng)用
在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)反例思想的滲透，能夠強(qiáng)化學(xué)生對一些基本概念和定理的學(xué)習(xí)和理解，并能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步提高教學(xué)效果。
2.1 恰當(dāng)構(gòu)造反例，加深對概念的理解
理解概念是學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是其能力培養(yǎng)的先決條件。通過反例，從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識，嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本質(zhì)。在高等數(shù)學(xué)的極限概念教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造反例，會得到事半功倍的效果。在極限概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生認(rèn)為：①有界函數(shù)的極限一定存在；
②若 存在，但 不存在，那么 不存在。上述兩種想法都是錯誤的.對于①構(gòu)造反例
因?yàn)楫?dāng) 時， 不能無限接近于一個確定的常數(shù) ，所以，極限 不存在，對于②構(gòu)造反例 ，
2.2正確應(yīng)用反例，加深對定理的理解
定理教學(xué)中，反例和證明具有同等重要的地位，通過嚴(yán)密的證明才能夠肯定一個命題的正確性，而巧妙的反例即可否定一個命題的正確性。
在高等數(shù)學(xué)的定理教學(xué)中，正確地應(yīng)用反例，能夠全面地理解定理的條件和結(jié)論，更好地應(yīng)用定理解決問題。關(guān)于羅爾定理（若函數(shù) 滿足條件： 在 上連續(xù)； 在 上可導(dǎo)；. 。則在（（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得 成立）的教學(xué)，因?yàn)樗皇抢窭嗜盏奶乩?，一般是結(jié)合圖形給予說明，不做重點(diǎn)講解。但能夠應(yīng)用反例加深對定理的理解，說明羅爾定理的三個條件是使 成立的充分條件，而不是必要條件。
2.3 有效利用反例，糾正習(xí)題中的錯誤
學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)需要解題，在解題中要鼓勵學(xué)生從多方面進(jìn)行思考，多角度進(jìn)行探索，挖掘新思路：鼓勵學(xué)生去聯(lián)想發(fā)揮，改變條件，對習(xí)題進(jìn)行拓寬。有些失誤難以通過正面途徑檢查出來，而舉反例就能在較短的時間內(nèi)，較直觀地反映出錯誤所在，而且，由此往往能產(chǎn)生正確的途徑。
“反例”揭示了數(shù)學(xué)上這種“失之毫厘，差之千里”的特點(diǎn)，達(dá)到了教學(xué)中那種“打開眼界，拓寬思路”的效果。所以，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，廣大教師應(yīng)重視和恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反例。
參考文獻(xiàn)
[1]吳里波.淺談高等數(shù)學(xué)課中微分中值定理教學(xué)方法一反例教學(xué)法.思茅師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2012（3）.
關(guān)鍵詞：函數(shù)零點(diǎn)；數(shù)學(xué)思想；中學(xué)數(shù)學(xué)；大學(xué)數(shù)學(xué)
中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）01-0392-02
1.引言
德國數(shù)學(xué)家F.克萊因認(rèn)為：教師應(yīng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角（高等數(shù)學(xué)）來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡單。函數(shù)零點(diǎn)問題涉及化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想，且很多學(xué)生一直都有"恐函癥"，一見"任意""存在"等字眼就發(fā)懵，因此，盡管這個命題只有寥寥數(shù)語但也帶給學(xué)生不少困惑。另外，《數(shù)學(xué)分析》也對該函數(shù)零點(diǎn)問題進(jìn)行了延續(xù)，羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、數(shù)列致密性定理等都與它有千絲萬縷的關(guān)系。本文從函數(shù)零點(diǎn)的概念延伸、函數(shù)零點(diǎn)的求解方法及導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題對函數(shù)零點(diǎn)的幾種應(yīng)用類型進(jìn)行比較，并進(jìn)一步闡述函數(shù)零點(diǎn)問題在中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)中的聯(lián)系。
2.零點(diǎn)概念性質(zhì)的延伸
定義1[1]（函數(shù)零點(diǎn)） 對于函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。
同時，關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)，我們有如下幾個等價條件[1]：函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)。
這個概念本身就已經(jīng)結(jié)合了函數(shù)與方程的思想，而《高等代數(shù)》[2] 又賦予了這個概念新的解釋：f（λ）=|A-λE|為A的特征多項式，則特征方程|A-λE|=0的根λ就是A的特征值。也就是說矩陣的特征值就是其特征多項式的零點(diǎn)，這就將零點(diǎn)應(yīng)用拓寬到了矩陣領(lǐng)域。
另外，《數(shù)學(xué)1》[3]中還給出了一個結(jié)論，延伸到《數(shù)學(xué)分析》[7]里，我們把它稱作函數(shù)零點(diǎn)存在定理： 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）.f（b）
這個定理看起來非常易理解，但卻包含了三個條件：⑴閉區(qū)間連續(xù)；⑵端點(diǎn)函數(shù)值互異；⑶開區(qū)間有零點(diǎn)。實(shí)際上是數(shù)學(xué)分析中介值定理的下放。而在此基礎(chǔ)上也可以推導(dǎo)出零點(diǎn)個數(shù)的判定定理，加深對零點(diǎn)個數(shù)問題的理解。
定理1[4] 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，設(shè)f（a）.f（b）≠0，則當(dāng)f（a）和f（b）同號時，f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)包含偶數(shù)個零點(diǎn)；則當(dāng)f（a）和f（b）異號時，f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)包含奇數(shù)個零點(diǎn)。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0。這個c也就是方程f（x）=0的根。
此外，我們在解方程時有涉及重根的概念，在利用穿根法解不等式的時候涉及"奇穿偶不穿"的原理，在高中階段往往被作為零碎的方法或概念去解決某一類問題，而從零點(diǎn)角度，則可以統(tǒng)一概括為：解析函數(shù)的一個零點(diǎn)是否導(dǎo)致符號變更（是否為一"交叉點(diǎn)"），按此零點(diǎn)重數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)來定。而符號變更這一概念不止在解析函數(shù)適用，在非解析函數(shù)仍然適用。有了這些高等數(shù)學(xué)的理論和概念作為支撐，在高中函數(shù)零點(diǎn)的教學(xué)過程中，就可以滲透更為精確的概念和表述，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
3.中學(xué)與大學(xué)函數(shù)零點(diǎn)問題的對比和討論
中學(xué)與大學(xué)函數(shù)零點(diǎn)問題主要?dú)w結(jié)于在函數(shù)零點(diǎn)概念性質(zhì)的延伸的背景下，通過對中學(xué)與大學(xué)用不同知識點(diǎn)來解決函數(shù)零點(diǎn)問題的幾種應(yīng)用類型進(jìn)行比較，并進(jìn)一步闡述其在中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)中的聯(lián)系。
3.1 二分法與區(qū)間套定理。在中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)有的各版本高中教材中，均給出了利用二分法求零點(diǎn)近似解方法。然而在大學(xué)數(shù)學(xué)中，利用區(qū)間套定理求解函數(shù)零點(diǎn)問題，這是二分法在大學(xué)數(shù)學(xué)中的直接延拓，更是新課改下，大學(xué)知識簡化進(jìn)入中學(xué)教材的典例。
例2 利用區(qū)間套定理證明零點(diǎn)存在定理。
證明 由區(qū)間套定理知：
1.進(jìn)行若干次等分后，某分點(diǎn)cn處函數(shù)值f（cn）=0此時取ξ=c即可
通過對比，我們發(fā)現(xiàn)無論是區(qū)間套定理還是二分法，都是通過將相應(yīng)區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近得到相應(yīng)的點(diǎn)，只是區(qū)間套定理相對于二分法求零點(diǎn)的一個最大突破就是加入了極限的概念，另二分法當(dāng)中的精確度ε0，從而使近似值趨于精確值，得到了質(zhì)的飛躍。當(dāng)然，盡管二分法在區(qū)間套的選取當(dāng)中仍然扮演重要角色，但區(qū)間套定理不僅限于此，不只是滿足即可，這也是從形式上對二分法的一種提升。另外，區(qū)間套定理中加入的唯一性的證明，則進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。由此，我們也可以發(fā)現(xiàn)中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系，可以看出函數(shù)零點(diǎn)在高等數(shù)學(xué)教育中的基礎(chǔ)作用。對函數(shù)零點(diǎn)定理的掌握可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)完備性理論，一步步從區(qū)間套定理到聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理等更高深的理論，從而提升其數(shù)學(xué)修養(yǎng)。
3.2 導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題--極值與羅爾定理。高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題，一直是高考當(dāng)中的重點(diǎn)，源于它能將各大基本函數(shù)（這里指指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等基本初等函數(shù)）的圖像和性質(zhì)融為一體。便于考查學(xué)生綜合解題能力以及對知識點(diǎn)的靈活應(yīng)用。其主要涉及函數(shù)的極值問題，是高中數(shù)學(xué)的一塊重要內(nèi)容（重慶高考卷一般會考查"一大一小"）。
將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為某函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)則是對這一問題的逆用，是《數(shù)學(xué)分析》中的羅爾定理在高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，從微分到積分的跨越。
例3 （改編自2012年高考數(shù)學(xué)湖北卷文科第三題） 證明：函數(shù)在 上至少有四個零點(diǎn)。
分析：如果直接從函數(shù)零點(diǎn)定理著手，這個問題較有難度，因此可以將所求函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題，構(gòu)造出羅爾定理中的函數(shù)。
