1414.已知A、B兩所大學(xué)的專業(yè)設(shè)置都相同(專業(yè)數(shù)均不小于2),數(shù)據(jù)顯示,A大學(xué)的各專業(yè)的男女生比例均高于B大學(xué)的相應(yīng)專業(yè)的男女生比例(男女生比例是指男生人數(shù)與女生人數(shù)的比). 據(jù)此,甲同學(xué)說:“A大學(xué)的男女生比例一定高于B大..." />
時(shí)間:2022-02-10 16:46:14
緒論:在尋找寫作靈感嗎?愛發(fā)表網(wǎng)為您精選了8篇大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)論文,愿這些內(nèi)容能夠啟迪您的思維,激發(fā)您的創(chuàng)作熱情,歡迎您的閱讀與分享!
A6B7C8D9分值: 5分 查看題目解析 >66. 在中,“”是“”的( )A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件分值: 5分 查看題目解析 >77. 已知某四棱錐的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為( )
ABCD分值: 5分 查看題目解析 >88. 如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為1,分別是棱上的動(dòng)點(diǎn),設(shè). 若棱與平面有公共點(diǎn),則的取值范圍是( )
ABCD分值: 5分 查看題目解析 >填空題 本大題共6小題,每小題5分,共30分。把答案填寫在題中橫線上。99. 已知雙曲線:,則雙曲線的一條漸近線的方程為___.分值: 5分 查看題目解析 >1010.已知數(shù)列滿足且,則____,其前項(xiàng)和___.分值: 5分 查看題目解析 >1111.已知圓C:,則圓心的坐標(biāo)為___,圓C截直線的弦長(zhǎng)為___.分值: 5分 查看題目解析 >1212.已知滿足則目標(biāo)函數(shù)的值為____.分值: 5分 查看題目解析 >1313.如圖所示,點(diǎn)在線段上,,. 給出下列三組條件(給出線段的長(zhǎng)度):①;②;③.其中,能使確定的條件的序號(hào)為____.(寫出所有所和要求的條件的序號(hào))
分值: 5分 查看題目解析 >1414.已知A、B兩所大學(xué)的專業(yè)設(shè)置都相同(專業(yè)數(shù)均不小于2),數(shù)據(jù)顯示,A大學(xué)的各專業(yè)的男女生比例均高于B大學(xué)的相應(yīng)專業(yè)的男女生比例(男女生比例是指男生人數(shù)與女生人數(shù)的比). 據(jù)此,甲同學(xué)說:“A大學(xué)的男女生比例一定高于B大學(xué)的男女生比例”;乙同學(xué)說:“A大學(xué)的男女生比例不一定高于B大學(xué)的男女生比例”;丙同學(xué)說:“兩所大學(xué)的全體學(xué)生的男女生比例一定高于B大學(xué)的男女生比例”.其中,說法正確的同學(xué)是____.分值: 5分 查看題目解析 >簡(jiǎn)答題(綜合題) 本大題共80分。簡(jiǎn)答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,.15.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;16.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,比較和的大小,并說明理由.分值: 13分 查看題目解析 >16已知函數(shù).17.求的定義域及的值;18.求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.分值: 13分 查看題目解析 >17誠(chéng)信是立身之本,道德之基.某校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠(chéng)信水站”,既便于學(xué)生用水,又推進(jìn)誠(chéng)信教育,并用“”表示每周“水站誠(chéng)信度”.為了便于數(shù)據(jù)分析,以四周為一個(gè)周期,下表為該水站連續(xù)八周(共兩個(gè)周期)的誠(chéng)信度數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),如表:
19.計(jì)算表1中八周水站誠(chéng)信度的平均數(shù);20.從表1誠(chéng)信度超過的數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取2個(gè),求至少有1個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)在第二個(gè)周期的概率;學(xué)生會(huì)認(rèn)為水站誠(chéng)信度在第二個(gè)周期中的后兩周出現(xiàn)了滑落,為此學(xué)生會(huì)舉行了“以誠(chéng)信為本”主題教育活動(dòng),并得到活動(dòng)之后一個(gè)周期的水站誠(chéng)信度數(shù)據(jù),如表:請(qǐng)根據(jù)提供的數(shù)據(jù),判斷該主題教育活動(dòng)是否有效,并根據(jù)已有數(shù)據(jù)說明理由.分值: 13分 查看題目解析 >18如圖,在四棱錐中,PD底面ABCD,AB//DC, CD=2AB, ADCD,E為棱PD的中點(diǎn).
22.求證:CDAE;23.求證:平面PAB平面PAD;24.試判斷PB與平面AEC是否平行?并說明理由.分值: 14分 查看題目解析 >19已知橢圓的離心率為,直線過橢圓的右頂點(diǎn),且交橢圓于另一點(diǎn).25.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;26.若以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn),求直線的方程.分值: 13分 查看題目解析 >20已知函數(shù).27.求曲線在函數(shù)零點(diǎn)處的切線方程;28.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;29.若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,且,求證:.20 第(1)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案
解析
令,得. 所以,函數(shù)零點(diǎn)為.由得, 所以, 所以曲線在函數(shù)零點(diǎn)處的切線方程為,即.考查方向
函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程。解題思路
先求出函數(shù)的零點(diǎn),再求導(dǎo)求出其在零點(diǎn)處的倒數(shù)即為切線的斜率,最后再寫出切線方程即可。易錯(cuò)點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)容易算錯(cuò)。20 第(2)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案
的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.解析
由函數(shù)得定義域?yàn)?令,得. 所以,在區(qū)間上,;在區(qū)間上,. 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.考查方向
單調(diào)區(qū)間的求法。解題思路
求導(dǎo)之后,由導(dǎo)數(shù)大于零求出函數(shù)在定義域上的增區(qū)間,由導(dǎo)數(shù)小于零求出減區(qū)間。易錯(cuò)點(diǎn)
①注意函數(shù)的定義域②不等式的正確求解。20 第(3)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案
解析
由(Ⅰ)可知在上,在上.由(Ⅱ)結(jié)論可知,函數(shù)在處取得極大值, 所以,方程有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí),必有,且,法1:所以,由在上單調(diào)遞減可知,所以.法2:由可得,兩個(gè)方程同解.設(shè),則,當(dāng)時(shí),由得,所以,, 所以.考查方向
利用函數(shù)的單調(diào)性研究其根的分布情況解題思路
2002年4月,財(cái)政部、教育部聯(lián)合了《關(guān)于印發(fā)國(guó)家獎(jiǎng)學(xué)金管理辦法的通知》。文件規(guī)定了家庭經(jīng)濟(jì)困難、品學(xué)兼優(yōu)的全國(guó)普通高等學(xué)校全日制本??茖W(xué)生向所在學(xué)校申請(qǐng)國(guó)家獎(jiǎng)學(xué)金的條件和要求。2004年6月,國(guó)務(wù)院辦公廳轉(zhuǎn)發(fā)了教育部、財(cái)政部、人民銀行、銀監(jiān)會(huì)聯(lián)合的《關(guān)于進(jìn)一步完善國(guó)家助學(xué)貸款工作若干意見的通知》。遵循“方便貸款、防范風(fēng)險(xiǎn)”的基本原則,《通知》要求進(jìn)一步理順國(guó)家、高校、銀行、學(xué)生之間的利益關(guān)系,對(duì)國(guó)家的助學(xué)貸款政策、還貸年限、貸款利息、信貸審批程序等進(jìn)行了調(diào)整,進(jìn)一步提出了健全國(guó)家助學(xué)貸款管理體系、完善助學(xué)貸款的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償機(jī)制、還款約束機(jī)制,以及強(qiáng)化高校和銀行在助學(xué)貸款發(fā)放中的管理責(zé)任的目標(biāo)要求。2005年7月,財(cái)政部、教育部聯(lián)合《關(guān)于印發(fā)國(guó)家助學(xué)獎(jiǎng)學(xué)金管理辦法的通知》,明確規(guī)定了高校中家庭經(jīng)濟(jì)困難、品學(xué)兼優(yōu)的全日制本??茖W(xué)生可以申請(qǐng)國(guó)家助學(xué)金的措施和辦法。2006年5月,國(guó)務(wù)院制定了《關(guān)于建立健全普通本科高校、高等職業(yè)學(xué)校和中等職業(yè)學(xué)校家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生資助政策體系的意見》?!兑庖姟芬?,各級(jí)教育主管部門和相關(guān)金融機(jī)構(gòu)要大力開展生源地信用助學(xué)貸款,進(jìn)一步完善我國(guó)的獎(jiǎng)學(xué)金制度、助學(xué)金制度,落實(shí)黨和國(guó)家的助學(xué)貸款政策。2007年6月,財(cái)政部、教育部聯(lián)合制定了《普通本科高校、高等職業(yè)學(xué)校國(guó)家勵(lì)志獎(jiǎng)學(xué)金管理暫行辦法》、《普通本科高校、高等職業(yè)學(xué)校國(guó)家助學(xué)金管理暫行辦法》、《普通本科高校、高等職業(yè)學(xué)校國(guó)家獎(jiǎng)學(xué)金管理暫行辦法》等文件。這些文件的貫徹執(zhí)行,擴(kuò)大了我國(guó)大學(xué)生教育資助的范圍,提高了大學(xué)生教育資助的額度,拓展了學(xué)生教育資助的途徑和方式。從“免費(fèi)+助學(xué)金”到“收費(fèi)+貸學(xué)金”的政策架構(gòu)的變化,標(biāo)志著我國(guó)學(xué)生經(jīng)濟(jì)資助政策體系的形成。盡管在學(xué)生經(jīng)濟(jì)資助政策的執(zhí)行過程中還存在著不盡如人意的現(xiàn)象,但隨著資助工作的內(nèi)容、措施、方法的豐富和完善,我國(guó)學(xué)生經(jīng)濟(jì)資助政策整體上已經(jīng)適應(yīng)了社會(huì)主義建設(shè)與高等教育改革發(fā)展的需要,取得了良好的政策合法性和政策實(shí)施效果。
二、分層:少數(shù)民族大學(xué)生經(jīng)濟(jì)資助政策的特點(diǎn)
實(shí)施黨和國(guó)家的教育資助政策,必須堅(jiān)持“促進(jìn)教育機(jī)會(huì)均等”的資助理念,貫徹“為了國(guó)家利益,資助貧寒學(xué)生,培養(yǎng)精英人才”的指導(dǎo)思想,遵循“絕不讓一名學(xué)生因家庭經(jīng)濟(jì)困難而輟學(xué)”的目標(biāo)要求。經(jīng)過多年來的實(shí)踐探索,我國(guó)的少數(shù)民族大學(xué)生資助已經(jīng)建立了由補(bǔ)償?shù)揭龑?dǎo)、由普遍優(yōu)惠到分層實(shí)施的資助機(jī)制,實(shí)現(xiàn)了由形式平等到實(shí)質(zhì)平等的價(jià)值目標(biāo)轉(zhuǎn)型。[3]這一特點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下方面:貸學(xué)金和獎(jiǎng)學(xué)金的形式區(qū)分。與全國(guó)大學(xué)生一樣,獎(jiǎng)學(xué)金、貸學(xué)金是少數(shù)民族大學(xué)生教育資助的主要形式,助學(xué)金、勤工助學(xué)、學(xué)費(fèi)減免是教育資助的輔助形式。獎(jiǎng)學(xué)金是政府、高等院校以及其他個(gè)人、社會(huì)機(jī)構(gòu)為表彰和鼓勵(lì)學(xué)業(yè)優(yōu)秀的大學(xué)生而提供的一種助學(xué)資金。貸學(xué)金作為一種推遲的付費(fèi)性資助方式,是由政府的財(cái)政渠道給于貸款或提供貸款擔(dān)保,由政府或?qū)W校共同給予一定的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償,由銀行或者其他金融機(jī)構(gòu)給貧困大學(xué)生提供的助學(xué)貸款。助學(xué)貸款的利率低于市場(chǎng)利率,主要目的是幫助家庭經(jīng)濟(jì)困難的大學(xué)生能夠順利入學(xué)或接受高等教育。助學(xué)金則是無償?shù)亍百?zèng)予”在校的大學(xué)生,目的主要在于解決學(xué)生的學(xué)習(xí)生活困難,使他們不因?yàn)榻?jīng)濟(jì)困難而失學(xué)?!蔼?jiǎng)優(yōu)”與“助困”的標(biāo)準(zhǔn)劃分。成績(jī)是否優(yōu)秀、經(jīng)濟(jì)狀況如何是執(zhí)行少數(shù)民族大學(xué)生資助政策的主要依據(jù)。2002年,我國(guó)的國(guó)家獎(jiǎng)學(xué)金對(duì)資助對(duì)象明確為“在校期間學(xué)習(xí)品學(xué)兼優(yōu)或參加統(tǒng)一高考成績(jī)優(yōu)秀、家庭經(jīng)濟(jì)困難。”考慮到各類人群的起點(diǎn)不同,我國(guó)在原有獎(jiǎng)學(xué)金制度的基礎(chǔ)上增設(shè)了國(guó)家助學(xué)金制度、國(guó)家勵(lì)志獎(jiǎng)學(xué)金制度。國(guó)家獎(jiǎng)學(xué)金、國(guó)家助學(xué)金的標(biāo)準(zhǔn)分別為“在校期間品學(xué)兼優(yōu)或參加統(tǒng)一高考成績(jī)優(yōu)秀、家庭經(jīng)濟(jì)困難”、“勤奮學(xué)習(xí),積極上進(jìn);家庭經(jīng)濟(jì)困難,生活樸素”?!蔼?jiǎng)優(yōu)”與“助困”的標(biāo)準(zhǔn)更加明確,國(guó)家獎(jiǎng)學(xué)金只獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀,不考慮家庭經(jīng)濟(jì)方面的情況;國(guó)家助學(xué)金助困,但受助者必須“勤奮學(xué)習(xí),積極上進(jìn)”國(guó)家勵(lì)志獎(jiǎng)學(xué)金堅(jiān)持獎(jiǎng)優(yōu)與助困相結(jié)合,要求資助對(duì)象必須是“品學(xué)兼優(yōu)且家庭經(jīng)濟(jì)困難的大學(xué)生”。經(jīng)濟(jì)資助與心理援助的方法結(jié)合??傮w上,貧困生在獲得各種資助時(shí)心理體驗(yàn)往往是積極的,尤其是對(duì)于努力學(xué)習(xí)與辛勤勞動(dòng)付出的獎(jiǎng)學(xué)金和勤工助學(xué)方式。但也有一部分貧困生在獲得資助時(shí)產(chǎn)生消極的心理體驗(yàn),因資助的不均和失衡等原因產(chǎn)生壓力或自卑感。針對(duì)大學(xué)生經(jīng)濟(jì)資助政策執(zhí)行給貧困生帶來的消極影響,教育管理者需要注意教育資助的方式方法,合理地疏導(dǎo)部分貧困生的消極心理。尤其要不斷探索經(jīng)濟(jì)資助和心理援助相結(jié)合的路徑,關(guān)注貧困生的心理體驗(yàn),建立動(dòng)態(tài)的貧困測(cè)定和資助評(píng)價(jià)模型,掌握貧困生的心理狀況,促進(jìn)貧困生的人格完善,提高心理援助的實(shí)效。綠色通道與勤工助學(xué)的路徑組合?!熬G色通道”指在資助政策允許的范圍內(nèi),對(duì)家庭經(jīng)濟(jì)困難的少數(shù)民族大學(xué)生采取專事專辦、特事特辦、專人專辦的方針政策?!熬G色通道”是對(duì)少數(shù)民族大學(xué)生經(jīng)濟(jì)資助和生活關(guān)懷的權(quán)利的優(yōu)先確認(rèn),是加快形成少數(shù)民族大學(xué)生對(duì)經(jīng)濟(jì)資助政策認(rèn)同的重要途徑,是家庭經(jīng)濟(jì)困難的少數(shù)民族大學(xué)生享有平等、公正的教育機(jī)會(huì)的一把綠鑰匙?!扒诠ぶ鷮W(xué)”是指在學(xué)校的教學(xué)、科研、管理等活動(dòng)過程中,為經(jīng)濟(jì)困難的學(xué)生設(shè)立勤工助學(xué)崗位,讓他們通過從事一定時(shí)間的勞動(dòng),獲取一定的報(bào)酬,改善學(xué)習(xí)和生活條件。勤工助學(xué)體現(xiàn)了“教育成本分擔(dān)”的辦學(xué)理念,擴(kuò)大了少數(shù)民族大學(xué)生教育選擇的機(jī)會(huì),有利于搭建自我教育的平臺(tái)和機(jī)制,是為少數(shù)民族大學(xué)生普遍樂于接受的教育資助方式。
三、和合:少數(shù)民族大學(xué)生教育資助政策的走向
ABCD分值: 5分 查看題目解析 >55.已知,且,則( )ABCD分值: 5分 查看題目解析 >66.已知是定義在上的奇函數(shù),且在上是增函數(shù),則的解集為( )ABCD分值: 5分 查看題目解析 >77.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為( )
ABCD分值: 5分 查看題目解析 >88.數(shù)列表示第天午時(shí)某種細(xì)菌的數(shù)量.細(xì)菌在理想條件下第天的日增長(zhǎng)率().當(dāng)這種細(xì)菌在實(shí)際條件下生長(zhǎng)時(shí),其日增長(zhǎng)率會(huì)發(fā)生變化.下圖描述了細(xì)菌在理想和實(shí)際兩種狀態(tài)下細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間的變化規(guī)律.那么,對(duì)這種細(xì)菌在實(shí)際條件下日增長(zhǎng)率的規(guī)律描述正確的是()
ABCD分值: 5分 查看題目解析 >填空題 本大題共6小題,每小題5分,共30分。把答案填寫在題中橫線上。99.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù) .分值: 5分 查看題目解析 >1010.若滿足 則的值為 .分值: 5分 查看題目解析 >1111.若點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為,則_______.分值: 5分 查看題目解析 >1212.在中,若,,,則 ; 若,則_______.分值: 5分 查看題目解析 >1313.在所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足,延長(zhǎng)交于點(diǎn),若,則_______.分值: 5分 查看題目解析 >1414.關(guān)于的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)記為.若,則=_______;若,存在使得成立,則的取值范圍是_________.分值: 5分 查看題目解析 >簡(jiǎn)答題(綜合題) 本大題共80分。簡(jiǎn)答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15已知是等比數(shù)列,滿足,,數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.15.求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;16.求數(shù)列的前項(xiàng)和.分值: 13分 查看題目解析 >16已知函數(shù)部分圖象如圖所示.
17.求的最小正周期及圖中的值;18.求在區(qū)間上的值和最小值.分值: 13分 查看題目解析 >17如圖,在四棱錐中,底面為矩形,平面平面,,,,為中點(diǎn).
19.求證:∥平面;20.求二面角的余弦值;21.在棱上是否存在點(diǎn),使得?若存在,求的值;若不存在,說明理由.分值: 14分 查看題目解析 >18設(shè)函數(shù).22.若為的極小值,求的值;23.若對(duì)恒成立,求的值.分值: 13分 查看題目解析 >19已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為.是橢圓上兩點(diǎn),且直線的斜率之積為,為坐標(biāo)原點(diǎn).24.求橢圓的方程;25.若射線上的點(diǎn)滿足,且與橢圓交于點(diǎn),求的值.分值: 14分 查看題目解析 >20已知集合.,,,其中.26.若,寫出中與正交的所有元素;27.令.若,證明:為偶數(shù);28.若,且中任意兩個(gè)元素均正交,分別求出時(shí),中最多可以有多少個(gè)元素.20 第(1)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案
,,,,,.解析
中所有與正交的元素為,,,,,.考查方向
分析問題。解題思路
直接列出即可。易錯(cuò)點(diǎn)
列不完全。20 第(2)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案
為偶數(shù);解析
對(duì)于,存在,;使得.令,;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí).那么.所以為偶數(shù).……………………4分考查方向
分析處理問題的能力。解題思路
根據(jù)題設(shè)直接計(jì)算。易錯(cuò)點(diǎn)
對(duì)待陌生問題的應(yīng)變能力。20 第(3)小題正確答案及相關(guān)解析正確答案
時(shí),中最多可以有個(gè)元素;時(shí),中最多可以有個(gè)元素.解析
8個(gè),2個(gè)時(shí),不妨設(shè),.在考慮時(shí),共有四種互相正交的情況即: ,分別與搭配,可形成8種情況.所以時(shí),中最多可以有個(gè)元素.………………………10分時(shí),不妨設(shè),,則與正交.令,,且它們互相正交.設(shè) 相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有個(gè),除去這列外相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有個(gè),相應(yīng)位置數(shù)字都相同的共有個(gè).則.所以,同理.可得.由于,可得,矛盾.所以任意三個(gè)元素都不正交.綜上,時(shí),中最多可以有個(gè)元素. ………13分考查方向
綜合分析問題的能力。解題思路
這個(gè)身材清癯、頭發(fā)花白的老人看起來十分平凡,然而他一生的經(jīng)歷卻比電影中的情節(jié)還要跌宕起伏。
孤獨(dú)的天才
納什1928年出生在美國(guó)西弗吉尼亞州工業(yè)城布魯菲爾德的一個(gè)富裕家庭。他的父親是受過良好教育的電子工程師,母親是拉丁語教師。納什從小就很孤僻,他寧愿鉆在書堆里,也不愿出去和同齡的孩子玩耍。那個(gè)時(shí)候,納什的數(shù)學(xué)成績(jī)并不好,小學(xué)老師常常向他的家長(zhǎng)抱怨納什的數(shù)學(xué)有問題,因?yàn)樗3J褂靡恍┢嫣氐慕忸}方法。到了中學(xué),這種情況就更加頻繁了,老師在黑板上演算了整個(gè)黑板的習(xí)題,納什只用簡(jiǎn)單的幾步就能解出答案。
中學(xué)畢業(yè)后,納什進(jìn)入了匹茲堡的卡耐基技術(shù)學(xué)院化學(xué)工程系。1948年,大學(xué)三年級(jí)的納什同時(shí)被哈佛、普林斯頓、芝加哥和密執(zhí)安大學(xué)錄取,而普林斯頓大學(xué)則表現(xiàn)得更加熱情。當(dāng)時(shí)的普林斯頓已經(jīng)成了全世界的數(shù)學(xué)中心,愛因斯坦等世界級(jí)大師均云集于此。在普林斯頓自由的學(xué)術(shù)空氣里,納什如魚得水,他21歲博士畢業(yè),不到30歲就已經(jīng)聞名遐邇。1958年,納什因其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的優(yōu)異工作被美國(guó)《財(cái)富》雜志評(píng)為新一代天才數(shù)學(xué)家中最杰出的人物。
納什最重要的理論就是現(xiàn)在廣泛出現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書上的“納什均衡”,也叫非合作均衡。“納什均衡”是他21歲博士畢業(yè)的論文,也奠定了數(shù)十年后他獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的基礎(chǔ)。
那時(shí)的納什“就像天神一樣英俊”,1.85米的個(gè)子,體重接近77公斤,手指修長(zhǎng)、優(yōu)雅,雙手柔軟、漂亮,還有一張英國(guó)貴族的容貌。他的才華和個(gè)人魅力吸引了一個(gè)漂亮的女生――艾里西亞,她是當(dāng)時(shí)麻省理工學(xué)院物理系僅有的兩名女生之一。1957年,他們結(jié)婚了。其后漫長(zhǎng)的歲月證明,這也許正是納什一生中比獲得諾貝爾獎(jiǎng)更重要的事情。
納什因?yàn)橄矚g獨(dú)來獨(dú)往,喜歡解決折磨人的數(shù)學(xué)問題而被人們稱為“孤獨(dú)的天才”。他不是一個(gè)善于為人處世并受大多數(shù)人歡迎的人,他有著天才們常有的驕傲、以自我為中心的毛病。同輩人大都認(rèn)為他不可理喻,說他“孤僻,傲慢,無情,幽靈一般,古怪,沉醉于自己的隱秘世界,根本不能理解別人操心的世俗事務(wù)”。
普林斯頓的幽靈
1958年的秋天,正當(dāng)艾里西亞半驚半喜地發(fā)現(xiàn)自己懷孕時(shí),納什卻為自己的未來滿懷心事,越來越不安。系主任馬丁已答應(yīng)在那年冬天給他永久教職,但是納什卻出現(xiàn)了各種稀奇古怪的行為:他擔(dān)心被征兵入伍而毀了自己的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力;他夢(mèng)想成立一個(gè)世界政府;他認(rèn)為《紐約時(shí)報(bào)》上每一個(gè)字母都隱含著神秘的意義,而只有他才能讀懂其中的寓意;他認(rèn)為世界上的一切都可以用一個(gè)數(shù)學(xué)公式表達(dá);他給聯(lián)合國(guó)寫信,跑到華盛頓給每個(gè)國(guó)家的大使館投遞信件,要求各國(guó)使館支持他成立世界政府的想法;他迷上了法語,甚至要用法語寫數(shù)學(xué)論文,他認(rèn)為語言與數(shù)學(xué)有神秘的關(guān)聯(lián)……
終于,在孩子出生之前,納什被送進(jìn)了精神病醫(yī)院。
幾年后,因?yàn)榘镂鱽啛o法忍受在納什的陰影下生活,他們離婚了。但是她并沒有放棄納什。離婚以后,艾里西亞再也沒有結(jié)婚,她依靠自己作為電腦程序員的微薄收入和親友的接濟(jì),繼續(xù)照料前夫和他們惟一的兒子。她堅(jiān)持納什應(yīng)該留在普林斯頓,因?yàn)槿绻粋€(gè)人行為古怪,在別的地方會(huì)被當(dāng)作瘋子,而在普林斯頓這個(gè)廣納天才的地方,人們會(huì)充滿愛心地想,他可能是一個(gè)天才。
于是,在上世紀(jì)70和80年代,普林斯頓大學(xué)的校園里總能看見一個(gè)非常奇特、消瘦而沉默的男人在徘徊。他穿著紫色的拖鞋,偶爾在黑板上寫下數(shù)字命理學(xué)的論題。人們稱他為“幽靈”,人們知道這個(gè)“幽靈”是一個(gè)數(shù)學(xué)天才,只是突然發(fā)瘋了。如果有人敢抱怨納什在附近徘徊使人不自在的話,他會(huì)立即受到警告:“你這輩子都不可能成為像他那樣杰出的數(shù)學(xué)家!”
正當(dāng)納什本人處于夢(mèng)境一般的精神狀態(tài)時(shí),他的名字開始出現(xiàn)在70年代和80年代的經(jīng)濟(jì)學(xué)課本、進(jìn)化生物學(xué)論文、政治學(xué)專著和數(shù)學(xué)期刊的各領(lǐng)域中。他的名字已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)或數(shù)學(xué)的一個(gè)名詞,如“納什均衡”、“納什談判解”、“納什程序”、“德喬治-納什結(jié)果”、“納什嵌入”和“納什破裂”等。
傳奇仍在繼續(xù)
有人說,站在金字塔尖上的科學(xué)家都有一個(gè)異常孤獨(dú)的大腦,納什發(fā)瘋是因?yàn)樗陋?dú)了。但是,納什在發(fā)瘋之后卻并不孤獨(dú),他的妻子、朋友和同事們沒有拋棄他,而是不遺余力地幫助他,挽救他,試圖把他拉出疾病的深淵。
盡管納什決心辭去麻省理工學(xué)院教授的職位,但他的同事和上司還是設(shè)法為他保全了保險(xiǎn)。他的同事聽說他被關(guān)進(jìn)了精神病醫(yī)院,就給當(dāng)時(shí)美國(guó)著名的精神病學(xué)專家打電話說:“為了國(guó)家利益,必須竭盡所能將納什教授復(fù)原為那個(gè)富有創(chuàng)造精神的人。”越來越多的人聚集到納什的身邊,他們?cè)O(shè)立了一個(gè)資助納什治療的基金,并在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)發(fā)起一個(gè)募捐活動(dòng)。對(duì)于普林斯頓大學(xué)為他做的一切,納什在清醒后表示:“我在這里得到庇護(hù),因此沒有變得無家可歸。”
守得云開見月明,妻子和朋友的關(guān)愛終于得到了回報(bào)。80年代末的一個(gè)清晨,當(dāng)普里斯頓高等研究院的戴森教授像平常一樣向納什道早安時(shí),納什回答說:“我看見你的女兒今天又上了電視?!睆膩頉]有聽到過納什說話的戴森仍然記得當(dāng)時(shí)的震驚,他說:“我覺得最奇妙的還是這個(gè)緩慢的蘇醒,漸漸地他就越來越清醒,還沒有任何人曾經(jīng)像他這樣清醒過來?!?/p>
納什漸漸康復(fù),從瘋癲中蘇醒,而他的蘇醒似乎是為了迎接他生命中的一件大事:榮獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。當(dāng)1994年瑞典國(guó)王宣布年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的獲得者是約翰?納什時(shí),數(shù)學(xué)圈里的許多人驚嘆的是:原來納什還活著!
納什沒有因?yàn)楂@得了諾貝爾獎(jiǎng)就放棄他的研究。在諾貝爾獎(jiǎng)得主自傳中,他寫道:從統(tǒng)計(jì)學(xué)看來,沒有任何一個(gè)已經(jīng)66歲的數(shù)學(xué)家或科學(xué)家能通過持續(xù)的研究工作,在他或她以前的成就基礎(chǔ)上更進(jìn)一步。但是,我仍然繼續(xù)努力嘗試。由于出現(xiàn)了長(zhǎng)達(dá)25年部分不真實(shí)的思維,相當(dāng)于提供了某種假期,我的情況可能并不符合常規(guī)。因此,我希望通過目前的研究或以后出現(xiàn)的任何新鮮想法,取得一些有價(jià)值的成果?!?/p>
【關(guān)鍵詞】應(yīng)用型;微積分;考試改革
財(cái)經(jīng)類院校往往培養(yǎng)適應(yīng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的,并具有現(xiàn)代意識(shí)、長(zhǎng)遠(yuǎn)眼光的應(yīng)用型經(jīng)管類高級(jí)專門人才.而作為經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)通識(shí)教育必修課的《微積分》,它為很多經(jīng)濟(jì)專業(yè)課程提供必要的數(shù)學(xué)工具,使學(xué)生掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式,就可以提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力,使優(yōu)秀的學(xué)生在走上工作崗位之后可以學(xué)以致用,順利脫穎而出.
一、考試改革的必要性
《微積分》是一門邏輯性較強(qiáng)的理論課程,但是大學(xué)數(shù)學(xué)考試模式還是采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法和手段,統(tǒng)一參加期末考試,平時(shí)成績(jī)占20%、期中考試成績(jī)占10%,期末考試成績(jī)占70%,顯然這樣的權(quán)重分配更加側(cè)重于期末的試卷成績(jī),形成了“一卷定結(jié)果”的局面,使大多數(shù)學(xué)生只以考試結(jié)果為目標(biāo),甚至只在考試前一周突擊備考的方式來應(yīng)對(duì)期末考試,完全忽視了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.在我校15級(jí)學(xué)生中開展的調(diào)查問卷顯示,有78%的同學(xué)認(rèn)為此種考試模式不合理.另外試題的題型大都比較單一,基本是課本上的例題和習(xí)題的翻版,而且計(jì)算題居多,少有應(yīng)用題,固定死板的試題模式很容易使學(xué)生養(yǎng)成不分析問題而直接套公式、定理和定義的壞習(xí)慣,培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)也就無從談起了.大學(xué)數(shù)學(xué)大面積不及格的現(xiàn)象,致使學(xué)生產(chǎn)生挫敗感,很大程度影響學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,甚至直接放棄.這是大多數(shù)獨(dú)立學(xué)院甚至各個(gè)高校所面臨的普遍現(xiàn)象.
二、考試改革的目標(biāo)
這樣單一的憑借期末成績(jī)?nèi)z驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和教師的教學(xué)效果,明顯是片面的缺乏科學(xué)性的,所以為了使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)思想,用數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S去分析和處理專業(yè)問題,提高學(xué)生素質(zhì),實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用和創(chuàng)新能力的目標(biāo),我們嘗試推行過程化為主的考試改革.
三、考試改革的幾點(diǎn)實(shí)施辦法
針對(duì)我院的實(shí)際情況,我們嘗試制訂了多層次多角度的評(píng)定標(biāo)
準(zhǔn),增加平時(shí)成績(jī)的權(quán)重,將學(xué)生每學(xué)期的最終成績(jī)?cè)u(píng)定權(quán)重分為平時(shí)成績(jī)占60%,期末考試40%,平時(shí)成績(jī)的分配情況如下:
1.分組討論、動(dòng)手實(shí)踐(10%)
學(xué)生采取自愿組合形式分組,并推薦一位組長(zhǎng),原則是每組都要有數(shù)學(xué)成績(jī)相對(duì)好的學(xué)生,這一點(diǎn)由每個(gè)班級(jí)的學(xué)委進(jìn)行協(xié)調(diào).上課時(shí)要求每個(gè)小組的成員坐在一起,方便課上討論和解答問題,課堂上會(huì)有相應(yīng)的練習(xí)題,給時(shí)間做并請(qǐng)同學(xué)回答問題,每組組長(zhǎng)每次推薦不同成員回答,教師針對(duì)成員的回答情況給個(gè)人記分.每次課要使每組至少回答一個(gè)問題,教師可以根據(jù)掌握的學(xué)生的不同情況來設(shè)定問題的難易程度,目的增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.特別是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課及統(tǒng)計(jì)學(xué)中的實(shí)踐部分,教師可結(jié)合學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐情況打分.
2.過程化考試(20%)
根據(jù)前期問卷調(diào)查,60%同學(xué)建議增加考試次數(shù),因此我們根據(jù)不同的大學(xué)數(shù)學(xué)科目決定考試的次數(shù),一般是每章結(jié)束后進(jìn)行一次階段性考試,由同一科目教師統(tǒng)一出題,統(tǒng)一監(jiān)考,來保證考試嚴(yán)格性和公平性,題型模擬期末考試,但是題量是期末考試的一半,總分為100分,最后取所有成績(jī)的平均數(shù).但是此種改革無疑增加了教師的工作量,是否應(yīng)該學(xué)院增加教師課時(shí)值得商榷.
3.隨堂檢驗(yàn)(10%)
教師在結(jié)束一節(jié)完整的課后,針對(duì)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)做一道思考題.例如講完導(dǎo)數(shù)與微分的概念后,教師給出了這樣的思考題:“一元函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)是一回事嗎?并說明一元函數(shù)中微分、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)三者之間的關(guān)系.”請(qǐng)同學(xué)以小組的形式限時(shí)十分鐘的時(shí)間來解答,并以紙質(zhì)的形式上交,這樣就避免了小組與小組之間抄襲答案的情況,為提高小組成員的參與程度,增加期末小組成員內(nèi)部不記名打分的環(huán)節(jié).在沒有時(shí)間檢驗(yàn)的情況下我們會(huì)布置課下做應(yīng)用小論文.
4.應(yīng)用小論文(10%)
教師針對(duì)教學(xué)內(nèi)容準(zhǔn)備一些開放性的題目學(xué)生自己選擇,也可讓學(xué)生根據(jù)某部分章節(jié)內(nèi)容或某個(gè)題的解法入手,一般沒有完整的答案,由學(xué)生獨(dú)立完成.課下搜集資料,進(jìn)行實(shí)踐調(diào)研,有利于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,特別可以培養(yǎng)開放性思維和創(chuàng)新意識(shí),另外利用數(shù)學(xué)方法分析和解決實(shí)際問題也是大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽的最終目標(biāo),它不僅有利于學(xué)生更好的掌握知識(shí)、運(yùn)用知識(shí),使學(xué)生能在日常的學(xué)習(xí)中自動(dòng)形成勤于思考的好習(xí)慣,也會(huì)加大對(duì)學(xué)生畢業(yè)以后工作時(shí)的業(yè)務(wù)能力和素質(zhì)的全面培養(yǎng).
5.額外加分(10%)
如果學(xué)生數(shù)學(xué)論文完成的較好,或參加數(shù)學(xué)類競(jìng)賽獲得一定的名次,或在所在分組內(nèi)表現(xiàn)優(yōu)異,可以給定額外加分,這樣可以極大的提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,深入的參加到教學(xué)活動(dòng)中去.
6.期末考試題型改革(40%)
現(xiàn)在我院期末考試題型為五種題型,選擇題、填空題、計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題,但是每次題都是“換湯不換藥”,而且計(jì)算題居多,我們計(jì)劃改變題庫形式,側(cè)重于實(shí)際經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,針對(duì)經(jīng)管類專業(yè)的特點(diǎn)出題,增加與專業(yè)課的銜接,體現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性地位.
納什還是奧斯卡獲獎(jiǎng)電影《美麗心靈》主人公原型、“博弈論”大師、著名數(shù)學(xué)家。2015年3月25日納什因在非線性偏微分方程方面做出的卓越貢獻(xiàn),與數(shù)學(xué)家路易斯?尼倫伯格一同獲得2015年度阿貝爾獎(jiǎng)(也有人把它稱為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)”)。然而,就在領(lǐng)獎(jiǎng)之后不到2個(gè)月,納什和妻子因?yàn)檐嚨滊p雙離世。
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“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)”之爭(zhēng)
菲爾茲獎(jiǎng)是最著名的世界性數(shù)學(xué)獎(jiǎng),1936年設(shè)立,一般4年頒發(fā)一次。由于諾貝爾獎(jiǎng)沒有數(shù)學(xué)獎(jiǎng),因此,也有人將菲爾茲獎(jiǎng)譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)”。菲爾茲獎(jiǎng)只授予40歲以下的數(shù)學(xué)家,且獎(jiǎng)金額僅有1500美元。2001年,為紀(jì)念挪威最著名的數(shù)學(xué)家阿貝爾誕辰200周年,挪威政府宣布設(shè)立“阿貝爾獎(jiǎng)”?!鞍⒇悹柂?jiǎng)”盡管歷史較短,但由于獎(jiǎng)金額(約100萬美元)巨大可以與諾貝爾獎(jiǎng)相媲美,且每年頒發(fā)一次,獲獎(jiǎng)?wù)卟辉O(shè)年齡限制,很快在世界范圍內(nèi)獲得了承認(rèn),目前已被公認(rèn)為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)”。
早慧的天才少年
約翰?納什曾擔(dān)任普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、美國(guó)科學(xué)院院士,其主要研究領(lǐng)域?yàn)椴┺睦碚摚瑫r(shí),在代數(shù)簇理論、黎曼幾何、拋物和橢圓型方程上取得了一些突破。納什寫的論文不多,僅僅幾篇便足夠引起學(xué)界矚目。
1928年6月13日,約翰?納什出生于美國(guó)西弗吉尼亞州的一個(gè)中產(chǎn)家庭,父親是電力公司的工程師,母親同樣受過良好教育,做過教師。納什的才華在小學(xué)四年級(jí)就顯露出來,不過,他的數(shù)學(xué)成績(jī)只有B-。納什的老師告訴他的母親,說他不怎么懂得做功課,但母親很清楚孩子已經(jīng)學(xué)會(huì)自己的方式去解決問題。到了高中階段,當(dāng)老師好不容易才做出一個(gè)冗長(zhǎng)的證明,納什卻只用兩三步就能解決問題。
高中畢業(yè)后,納什進(jìn)入了卡耐基梅隆大學(xué)學(xué)習(xí),之后又進(jìn)入卡耐基技術(shù)學(xué)院化學(xué)工程系。1948年,大學(xué)三年級(jí)的納什同時(shí)被美國(guó)幾所頂尖高校哈佛、普林斯頓、芝加哥和密執(zhí)安大學(xué)錄取。普林斯頓大學(xué)則表現(xiàn)得更加熱情,當(dāng)數(shù)學(xué)系主任列夫謝茨感到納什的猶豫時(shí),就立即寫信敦促他選擇普林斯頓,這促使納什接受了一份1150美元的獎(jiǎng)學(xué)金。由于優(yōu)厚的獎(jiǎng)學(xué)金以及離家鄉(xiāng)較近的地理位置,納什選擇了普林斯頓,來到愛因斯坦當(dāng)時(shí)生活的地方。在此,納什顯露出對(duì)拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、博弈論和邏輯學(xué)的濃厚興趣。
孤獨(dú)天才造就神奇的“納什均衡”
1950年,納什把自己的研究成果撰寫成主題為《非合作博弈》的長(zhǎng)篇博士論文,當(dāng)年11月發(fā)表后,立即引起轟動(dòng)。這篇論文所探討的問題后來也被稱為“納什均衡”。“納什均衡”首先是指?jìng)€(gè)人理性與集體理性的沖突,各人追求利己行為而導(dǎo)致的最終結(jié)局,也是對(duì)所有人都不利的結(jié)局;其次,“納什均衡”是一種非合作博弈均衡,在現(xiàn)實(shí)中非合作的情況要比合作情況普遍。
“納什均衡”的提出和不斷完善為博弈論廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、社會(huì)學(xué)、政治學(xué)、軍事科學(xué)等領(lǐng)域奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。生活中,常見的“價(jià)格戰(zhàn)博弈”“污染博弈”“易自由與壁壘”這3種現(xiàn)象可以用來直觀地理解“納什均衡”。
納什是一個(gè)天才數(shù)學(xué)家,然而,他的天才發(fā)現(xiàn)――非合作博弈的均衡(納什均衡),并不是一帆風(fēng)順的。1948年,納什來到普林斯頓大學(xué),那一年他不到20歲。當(dāng)時(shí),普林斯頓可謂人杰地靈,大師云集。愛因斯坦、馮?諾依曼、列夫謝茨(數(shù)學(xué)系主任)等人全都在這里。
其實(shí),博弈論的主體架構(gòu)是由馮?諾依曼創(chuàng)立的。早在20世紀(jì)初,塞梅、鮑羅和馮?諾伊曼已經(jīng)開始研究博弈的準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)。直到1939年,馮?諾依曼遇到經(jīng)濟(jì)學(xué)家奧斯卡?摩根斯特恩,并與其合作才使博弈論進(jìn)入廣闊的經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域。
1944年,馮?諾依曼與奧斯卡?摩根斯特恩合著的巨作《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》出版,標(biāo)志著現(xiàn)代系統(tǒng)博弈理論的初步形成。其中,合作型博弈在20世紀(jì)50年代達(dá)到了巔峰期。然而,其局限性也日益暴露出來,這表現(xiàn)在它過于抽象、應(yīng)用范圍極有限。在很長(zhǎng)時(shí)間里,人們對(duì)博弈論的研究知之甚少,它只是少數(shù)數(shù)學(xué)家的專利。正是在這個(gè)時(shí)候,非合作博弈(納什均衡)應(yīng)運(yùn)而生了,它標(biāo)志著博弈論的新時(shí)代的到來!
納什當(dāng)時(shí)研究的博弈論,正是一門以各種博弈為研究對(duì)象的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。1950年后,納什的兩篇關(guān)于非合作博弈論的重要論文,徹底改變了人們對(duì)競(jìng)爭(zhēng)和市場(chǎng)的看法。他證明了非合作博弈及其均衡解,并證明了均衡解的存在性,從而揭示了博弈均衡與經(jīng)濟(jì)均衡的內(nèi)在聯(lián)系。納什的研究奠定了現(xiàn)代非合作博弈論的基石,后來的博弈論研究基本上都沿著這條主線展開的。然而,納什天才的發(fā)現(xiàn)卻遭到馮?諾依曼的斷然否定,在此之前,他還受到愛因斯坦的冷遇。骨子里挑戰(zhàn)權(quán)威的本性,使納什堅(jiān)持了自己的觀點(diǎn)。
走向?qū)W術(shù)巔峰卻墮入生命谷底
當(dāng)我們回首納什的年輕時(shí)代,仍然會(huì)被其天才的智慧和傳奇的經(jīng)歷而吸引。1945年,納什進(jìn)入卡耐基梅隆大學(xué),他的數(shù)學(xué)天才在這里得到了公認(rèn),教授們稱他為“年輕的高斯”。1948年,在普林斯頓熱情地召喚下,納什來到了這里并很快表現(xiàn)出他的機(jī)敏和才能。不久,他就發(fā)明了一種在洗手間里六角形瓷磚上打記號(hào)玩的游戲,并一時(shí)風(fēng)靡。1950年6月13日,是納什22歲生日,也恰好是他獲得博士學(xué)位的日子。1950年11月,納什的博士,這背后納什的師兄戴維?蓋爾功不可沒。就在遭到馮?諾依曼“貶低”幾天之后,納什遇到蓋爾,并向他介紹了自己的想法,蓋爾聽得很認(rèn)真,意識(shí)到納什的思路比馮?諾伊曼的合作博弈的理論更能反映現(xiàn)實(shí)的情況,而對(duì)其嚴(yán)密優(yōu)美的數(shù)學(xué)證明極為贊嘆。蓋爾建議他馬上整理出來發(fā)表,以免被別人捷足先登。納什這個(gè)初出茅廬的年輕人,根本不知道競(jìng)爭(zhēng)的險(xiǎn)惡,從未想過要這么做。結(jié)果還是蓋爾充當(dāng)了他的“經(jīng)紀(jì)人”,代為起草致科學(xué)院的短信,系主任列夫謝茨則親自將文稿遞交給科學(xué)院。
1957年,納什結(jié)婚了。之后,漫長(zhǎng)的歲月證明,這也許是納什一生中比獲得諾貝爾獎(jiǎng)更重要的事。1958年,納什因其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的優(yōu)異表現(xiàn)被美國(guó)《財(cái)富》雜志評(píng)為新一代天才數(shù)學(xué)家中最杰出的人物。然而,納什不是一個(gè)善于為人處世并受大多數(shù)人歡迎的人,他有著天才們常有的驕傲、自我為中心的毛病。雖然事業(yè)愛情雙雙得意,但納什還是喜歡獨(dú)來獨(dú)往,喜歡解決折磨人的數(shù)學(xué)問題,而且被稱為“孤獨(dú)的天才”。
30歲時(shí),納什突然出現(xiàn)了許多古怪的舉動(dòng):他擔(dān)心被征兵入伍而毀了自己的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力;他夢(mèng)想成立一個(gè)世界政府;他認(rèn)為《紐約時(shí)報(bào)》上每一個(gè)字母都隱含著神秘的意義,而只有他才能讀懂其中的寓意;他認(rèn)為世界上的一切都可以用一個(gè)數(shù)學(xué)公式表達(dá);他給聯(lián)合國(guó)寫信,跑到華盛頓給每個(gè)國(guó)家的大使館投遞信件,要求各國(guó)使館支持他成立世界政府的想法;他迷上了法語,甚至要用法語寫數(shù)學(xué)論文,他認(rèn)為語言與數(shù)學(xué)有神秘的關(guān)聯(lián)……最終,他因?yàn)榛寐牨淮_診為嚴(yán)重的精神分裂癥,后來是接二連三的診治與復(fù)發(fā)。1962年,當(dāng)他被認(rèn)為是理所當(dāng)然的菲爾茲獎(jiǎng)獲得者時(shí),他的精神狀況卻使他與獎(jiǎng)項(xiàng)失之交臂。
正當(dāng)納什處于夢(mèng)境一般的狀態(tài)時(shí),他的名字開始出現(xiàn)在20世紀(jì)七八十年代的經(jīng)濟(jì)學(xué)課本、進(jìn)化生物學(xué)論文、政治學(xué)專著和數(shù)學(xué)期刊等各領(lǐng)域中。同時(shí),他的名字已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)或數(shù)學(xué)中的常見名詞,如“納什均衡”“納什談判解”“納什程序”“德喬治-納什結(jié)果”“納什嵌入”和“納什破裂”等。20世紀(jì)80年代末的一個(gè)清晨,當(dāng)普林斯頓高等研究院的戴森教授像平常一樣向納什道早安時(shí),納什回答說:“我看見你的女兒今天又上電視了。”從來沒有聽到過納什說話的戴森仍然記得當(dāng)時(shí)的震驚之情:“我覺得最奇妙的還是這個(gè)緩慢的蘇醒。漸漸地他就越來越清醒,還沒有任何人曾經(jīng)像他這樣清醒過來?!?/p>
納什漸漸康復(fù),從瘋癲中蘇醒,這似乎是為了迎接他生命中的一件大事:榮獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)!當(dāng)1994年瑞典國(guó)王宣布年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的獲得者是約翰?納什時(shí),數(shù)學(xué)圈里的許多人驚嘆的是:原來納什還活著。
從未停止思考的數(shù)學(xué)大師
納什沒有因?yàn)楂@得了諾貝爾獎(jiǎng)就放松自己的研究,在諾貝爾獎(jiǎng)得主自傳中,他寫道:“從統(tǒng)計(jì)學(xué)看來,沒有任何一個(gè)已經(jīng)66歲的數(shù)學(xué)家或科學(xué)家能通過持續(xù)的研究工作,在其以前的成就基礎(chǔ)上更進(jìn)一步。但是,我仍然繼續(xù)努力嘗試。由于出現(xiàn)了長(zhǎng)達(dá)25年部分不真實(shí)的思維,相當(dāng)于提供了某種假期,我的情況可能并不符合常規(guī)。因此,我希望通過目前的研究成果或以后出現(xiàn)的任何新鮮想法,取得一些有價(jià)值的成果?!?/p>
20世紀(jì)50年代,美國(guó)麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家紐曼曾對(duì)納什有過這樣的評(píng)價(jià):“其他人通常會(huì)在山上尋找攀登頂峰的道路。納什干脆爬上另外一座山,再反過來從那個(gè)遙遠(yuǎn)的山峰用探照燈照射這座山?!?0世紀(jì)70年代,普林斯頓大學(xué)的師生們總能在校園里看見一個(gè)非常奇特、消瘦而沉默的男人在徘徊,他穿著紫色的拖鞋,偶爾在黑板上寫下“數(shù)字命理學(xué)”(亦稱為“占卜算術(shù)”)的論題。他被稱為“幽靈”,人們知道這個(gè)“幽靈”是一個(gè)數(shù)學(xué)天才,只是突然發(fā)瘋了。如果有人敢抱怨納什在附近徘徊使人不自在的話,他會(huì)立即受到警告:“你這輩子都不可能成為像他那樣杰出的數(shù)學(xué)家!”
在廈門大學(xué)的校園里,師生之間相互傳遞著一個(gè)消息:廈大驕子——陳景潤(rùn)要回校參加六十周年的校慶活動(dòng)啦!
他確實(shí)回來了。這位24年前畢業(yè)于廈門大學(xué)的數(shù)學(xué)家,帶著對(duì)母校的思念,帶著對(duì)曾經(jīng)培育他的師長(zhǎng)們的深情厚意回來了。
5日下午5時(shí)35分,當(dāng)175次列車在廈門車站徐徐停穩(wěn)后,只見身穿半新藍(lán)色中山裝、戴著白邊近視眼鏡、理著平頭的陳景潤(rùn),從11號(hào)硬臥車廂走下來。他向歡迎的人們說的第一句話是:“我非常高興回到我的母校來?!彼缶脛e家園的游子回到母親身邊一樣,顯得格外快樂和激動(dòng)。他說,在廈門大學(xué)學(xué)習(xí),是我一生中最難忘和幸福的時(shí)期。每當(dāng)我回憶起在廈大當(dāng)學(xué)生時(shí)的美好情景,我永遠(yuǎn)不會(huì)忘記教過我的老師。我非常尊敬這些熱心教育事業(yè),給我以諄諄教導(dǎo)的老師們,是他們給予我許多的指導(dǎo)和幫助。從離開廈大到現(xiàn)在,我每時(shí)每刻都懷念著我親愛的母校,懷念著教過我的老師……
被人們譽(yù)為“懂得人的價(jià)值”的著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家、廈門大學(xué)的老校長(zhǎng)王亞南,曾經(jīng)對(duì)陳景潤(rùn)給予了無微不至的關(guān)心和愛護(hù)。陳景潤(rùn)重返母校,格外懷念這位已故的老校長(zhǎng)。校慶活動(dòng)安排得滿滿的,有一天早晨,陳景潤(rùn)四點(diǎn)多鐘就起了床,匆匆用過早餐,便乘汽艇趕往鼓浪嶼。天剛蒙蒙亮,他就來到王亞南校長(zhǎng)的家里。一進(jìn)門,他緊緊握住年已七旬的王師母的手,無限深情地說:“我非常非常地想念王校長(zhǎng),非常感激王校長(zhǎng)對(duì)我的培養(yǎng)和教育?!蓖鯉熌咐氖执葠鄣卣f:“我們?cè)趫?bào)上看到了你的照片,聽到你的消息,感到特別親切。假如他今天還活著,一定也是很高興的。”陳景潤(rùn)來到王校長(zhǎng)的遺像前,與王師母一起回顧那令人難忘的往事:王校長(zhǎng)當(dāng)年生動(dòng)活潑的報(bào)告,拄著拐杖、打著雨傘走訪學(xué)生宿舍的身影,大清早和陳嘉庚老先生察看禮堂工地的情景。二十多年前的事了,陳景潤(rùn)今天講起來還是那樣熟悉,就象發(fā)生在昨天一樣。他講著講著,眼里噙滿了淚水。1969年11月13日王校長(zhǎng)含冤去世的時(shí)候,他正在“隊(duì)”里,后來是從一位校友那里知道了這一噩耗,這位冷靜的數(shù)學(xué)家再也抑制不住內(nèi)心的悲痛,潸然淚下,痛哭了一場(chǎng)。王師母曾給他寄過一張王校長(zhǎng)的遺照,可惜他沒收到。陳景潤(rùn)說:“我心里急得要死,好幾次到那信海中去翻找,結(jié)果都沒找到。”他懇求王師母再送給他一張以作為永久紀(jì)念,王師母滿足了他的要求。臨別時(shí),陳景潤(rùn)奉獻(xiàn)給王師母一套國(guó)畫圖片。
校慶大會(huì)那天上午,陳景潤(rùn)和大家一起前往會(huì)場(chǎng)。當(dāng)人群匆匆走過數(shù)學(xué)館的時(shí)候,忽然間,陳景潤(rùn)在另一大群人中發(fā)現(xiàn)了李文清教授?!笆撬?!”陳景潤(rùn)沖過人群,三步并作兩步直向李教授奔去,緊緊握住李教授的手,激動(dòng)得說不出話來,半分鐘左右,才說:“先生,我一定來看您!”兩天之后,陳景潤(rùn)果然出現(xiàn)在李教授家中。李教授曾經(jīng)是陳景潤(rùn)向“哥德巴赫猜想”進(jìn)軍的啟蒙老師,陳景潤(rùn)非常尊敬和感激他。陳景潤(rùn)說:“我到北京后,一直想著老師的培養(yǎng)教育?,F(xiàn)在搞研究工作,總覺得以前老師的指導(dǎo)和培養(yǎng)是非常重要的?;A(chǔ)是老師幫我打下的?!彼€把最近發(fā)表的數(shù)學(xué)論文送給李文清教授審閱,并在論文的扉頁上工工整整地寫下:“非常感謝我?guī)煹拈L(zhǎng)期指導(dǎo)和培養(yǎng)——你的學(xué)生陳景潤(rùn)?!?/p>
方德植教授早年畢業(yè)于浙江大學(xué),1943年到廈大任教,1952年擔(dān)任數(shù)學(xué)系主任,親自教授“高等微積分”等三門課程。他嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度,一直受到陳景潤(rùn)的敬仰。陳景潤(rùn)這次回母校,沿途有很多單位邀請(qǐng)他做學(xué)術(shù)報(bào)告,由于時(shí)間緊,他都一一婉言謝絕,唯獨(dú)在浙江大學(xué)作了短暫的停留。有人不解地問起這件事,陳景潤(rùn)回答說:“因?yàn)槟鞘俏依蠋熥x書的地方,是培養(yǎng)我老師的學(xué)校,我怎能不去看看呢?”有誰能想到,這位著名的數(shù)學(xué)家,對(duì)老師的母校也如此尊重!
1.融入數(shù)學(xué)建模思想的高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究
2.創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育背景下高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法研究
3.高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)改革的必由之路——將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中
4.高等數(shù)學(xué)教學(xué)如何與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法有效地銜接
5.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究進(jìn)展
6.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型案例運(yùn)用初探
7.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考
8.高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法的探索與實(shí)踐
9.物理教育專業(yè)《高等數(shù)學(xué)》課程內(nèi)容體系研究
10.《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法的改革與研究
11.數(shù)學(xué)建模對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的啟示
12.數(shù)學(xué)史融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的有效途徑
13.影響《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)的問題分析及對(duì)策研究
14.數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的研究與實(shí)踐
15.高等職業(yè)院校高等數(shù)學(xué)課程翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式設(shè)計(jì)
16.高等數(shù)學(xué)分級(jí)教學(xué)的探索與實(shí)踐
17.高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)階段分析與對(duì)策思考
18.高等數(shù)學(xué)研究性教學(xué)方案探析
19.數(shù)學(xué)思想方法在高等數(shù)學(xué)教育中的作用
20.高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)體系的構(gòu)建與實(shí)踐
21.注重應(yīng)用實(shí)例 提高高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量與效果
22.基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)視角的高等數(shù)學(xué)課程改革優(yōu)化研究
23.淺談高等數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生自我效能感的培養(yǎng)
24.工科專業(yè)高等數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)
25.淺談《高等數(shù)學(xué)》試題庫建設(shè)
26.高等數(shù)學(xué)在高職院校中分層教學(xué)的實(shí)踐與思考
27.高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的銜接
28.學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》困難原因調(diào)查及統(tǒng)計(jì)分析
29.高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接
30.工科學(xué)生“高等數(shù)學(xué)”成績(jī)的相關(guān)分析研究
31.高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)的統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)模型與Spss應(yīng)用
32.高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革實(shí)踐與回顧
33.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用價(jià)值的研究
34.高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與應(yīng)用型人才培養(yǎng)探討
35.應(yīng)用型本科高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的研究
36.高職高專《高等數(shù)學(xué)》課程與專業(yè)相結(jié)合教學(xué)模式初探
37.如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維
38.新建本科院校本科《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)狀況調(diào)查報(bào)告
39.關(guān)于理工科高等數(shù)學(xué)研究型教學(xué)與大學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)研究的構(gòu)想
40.高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的研究與實(shí)踐
41.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究與探索
42.高等數(shù)學(xué)MOOC課程討論區(qū)開放性問題在線討論實(shí)證調(diào)查與思考
43.基于專業(yè)導(dǎo)向的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究
44.數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革初探
45.高職院校高等數(shù)學(xué)課程的定位與教學(xué)目標(biāo)
46.高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與實(shí)踐
47.分級(jí)教學(xué):工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)的新平臺(tái)
48.MATLAB用于《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)
49.高等數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新的探索與嘗試
50.MATLAB在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用
51.獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)的研究和實(shí)踐
52.高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)化教學(xué)模式的理論研究與實(shí)踐
53.多媒體技術(shù)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中適用性的分析
54.基于微課程的高等數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的探討
55.工科高等數(shù)學(xué)分級(jí)教學(xué)模式的探索
56.高等數(shù)學(xué)課程新教師教學(xué)方法探索和研究
57.淺談大學(xué)生如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)
58.獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容與課程體系整體優(yōu)化的研究與實(shí)踐
59.我校大學(xué)生對(duì)《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)態(tài)度的調(diào)查及統(tǒng)計(jì)分析
60.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革思路研究與實(shí)踐——以南京航空航天大學(xué)為例
61.在高等數(shù)學(xué)課程中引入數(shù)學(xué)史教育的教法探討與實(shí)踐
62.淺析高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的滲透
63.高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革與模式探索——傳授數(shù)學(xué)思想,滲透數(shù)學(xué)文化
64.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用能力研究的現(xiàn)狀綜觀
65.數(shù)學(xué)史與高等數(shù)學(xué)教育
66.淺談高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美
67.對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的思考
68.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歸因、自我監(jiān)控能力和成績(jī)關(guān)系的調(diào)查研究
69.關(guān)于高等數(shù)學(xué)課程分層次教學(xué)的實(shí)踐與思考
70.提高高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量的幾點(diǎn)思考
71.信息技術(shù)是提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)水平的重要手段
72.獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討
73.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究與探索
74.高等數(shù)學(xué)教學(xué)法探討
75.應(yīng)用本科院校高等數(shù)學(xué)走班制分層次教學(xué)探究——以河南科技學(xué)院為例
76.《高等數(shù)學(xué)》多媒體課堂教學(xué)優(yōu)勢(shì)探討
77.淺析改善高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果的主要途徑
78.融數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革
79.20世紀(jì)上半葉中國(guó)高等數(shù)學(xué)教育的體制化
80.基于灰色關(guān)聯(lián)分析的高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)
81.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的過程、困惑與探索
82.高等數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)
83.高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐與探索
84.高等數(shù)學(xué)課程分層教學(xué)改革探究
85.應(yīng)用型本科院校計(jì)算機(jī)專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革探究——以數(shù)學(xué)建模為切入點(diǎn)
86.關(guān)于高職學(xué)生高等數(shù)學(xué)教與學(xué)中若干問題的調(diào)查與分析
87.經(jīng)管類專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的思考
88.高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)法
89.《高等數(shù)學(xué)》多媒體教學(xué)的研究與實(shí)踐
90.用模糊數(shù)學(xué)方法評(píng)價(jià)《高等數(shù)學(xué)》教材的選取
91.高職院校工科專業(yè)學(xué)生高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)狀況調(diào)查——以陜西能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院為例
92.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的實(shí)踐研究
93.計(jì)算機(jī)技術(shù)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
94.如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)淺談
95.加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè) 提高人才培養(yǎng)質(zhì)量
96.基于數(shù)學(xué)文化觀的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式研究
97.對(duì)高等數(shù)學(xué)課程實(shí)施研究型教學(xué)法的探析
98.多媒體技術(shù)在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中的應(yīng)用探討
99.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探討
100.高等數(shù)學(xué)與新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容對(duì)接的研究
101.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想
102.工科院校高等數(shù)學(xué)分層教學(xué)問題研究——以湖北工程學(xué)院為例
103.信息化條件下高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)新模式探討
104.高等數(shù)學(xué)分層教學(xué)的探索與實(shí)踐
105.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想
106.實(shí)施院內(nèi)分級(jí)教學(xué) 全面提高教學(xué)質(zhì)量——《高等數(shù)學(xué)》課程實(shí)施分級(jí)教學(xué)的理論與實(shí)踐
107.將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實(shí)踐
108.淺議高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法
109.新形勢(shì)下高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式探討
110.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想的探索與實(shí)踐
111.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討
112.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及其影響因素的調(diào)查與分析
113.高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用
114.高職學(xué)生《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)現(xiàn)狀研究及其對(duì)策——以本院學(xué)生為例
115.基于數(shù)學(xué)文化觀的小學(xué)教育專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程研究
116.數(shù)學(xué)建模案例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討
117.長(zhǎng)江大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》分類分級(jí)教學(xué)實(shí)踐
118.改革高等數(shù)學(xué)課程 突出應(yīng)用能力培養(yǎng)
119.經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的若干思考
120.我國(guó)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革與實(shí)踐途徑
121.基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革